Topologia, zadanie nr 1760
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
majewa888 postów: 24 | ![]() Mam za zadanie napisać przykład odwzorowania ciągłego f oraz zbioru domkniętego F takich, że f(F) nie jest zbiorem domkniętym.Mógłby ktoś pomóc? |
tumor postów: 8070 | ![]() Wystarczy topologię dobrze wybrać. Weźmy funkcję $f:(R,\tau_1)\to(R,\tau_2)$, gdzie $\tau_1$ jest topologią dyskretną, a $\tau_2$ topologią naturalną. Wówczas każda taka $f$ jest funkcją ciągłą, ponieważ KAŻDY przeciwobraz jest zbiorem otwartym (czyli na pewno przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty). Możemy zatem wybrać najprościej $f(x)=x$ Wystarczy za $F$ wybrać taki zbiór, że jest domknięty w topologii dyskretnej, a nie jest w naturalnej, choćby $(0,1)$ |
majewa888 postów: 24 | ![]() A mogłabym poprosić o jeszcze jakiś przykład?:) |
tumor postów: 8070 | ![]() A czemu nie kombinujesz sama? hę? Wszystko ja robię. Tu chodzi o POMOC z zadaniami, a nie tylko "zrób mi". :) Wymyślił mi się taki zabawny przykład. Narysuj se okrąg, pod nim poziomą prostą, a na górze okręgu zaznacz punkt $P$ (ten najdalszy prostej). Jeśli teraz wybierzesz punkt $A$ na prostej, to niech $A`$ będzie punktem przecięcia $AP$ z okręgiem. Dla każdego punktu na prostej znajdziemy jego obraz w tym odwzorowaniu. Okrąg pomyślmy z topologią dziedziczoną z $R^2$, prostą z topologią naturalną $R$ (co równoważne dziedziczonej z $R^2$). Przekształcenie prostej w okrąg jest ciągłe (wystarczy, że przeciwobrazem przedziału otwartego, tj. łuku bez końców, jest przedział otwarty). Jednocześnie jednak obrazem domkniętego zbioru $[0,\infty)$ jest fragment łuku domknięty z jednej tylko strony, otwarty z drugiej, gdyż koniec - punkt $P$ - nie należy do tego obrazu. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj