Topologia, zadanie nr 1760

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
majewa888 postów: 24	2013-11-29 19:05:45 Mam za zadanie napisać przykład odwzorowania ciągłego f oraz zbioru domkniętego F takich, że f(F) nie jest zbiorem domkniętym.Mógłby ktoś pomóc?

tumor postów: 8070	2013-11-29 19:49:46 Wystarczy topologię dobrze wybrać. Weźmy funkcję $f:(R,\tau_1)\to(R,\tau_2)$, gdzie $\tau_1$ jest topologią dyskretną, a $\tau_2$ topologią naturalną. Wówczas każda taka $f$ jest funkcją ciągłą, ponieważ KAŻDY przeciwobraz jest zbiorem otwartym (czyli na pewno przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty). Możemy zatem wybrać najprościej $f(x)=x$ Wystarczy za $F$ wybrać taki zbiór, że jest domknięty w topologii dyskretnej, a nie jest w naturalnej, choćby $(0,1)$

majewa888 postów: 24	2013-11-30 13:14:44 A mogłabym poprosić o jeszcze jakiś przykład?:)

tumor postów: 8070	2013-11-30 22:20:34 A czemu nie kombinujesz sama? hę? Wszystko ja robię. Tu chodzi o POMOC z zadaniami, a nie tylko "zrób mi". :) Wymyślił mi się taki zabawny przykład. Narysuj se okrąg, pod nim poziomą prostą, a na górze okręgu zaznacz punkt $P$ (ten najdalszy prostej). Jeśli teraz wybierzesz punkt $A$ na prostej, to niech $A`$ będzie punktem przecięcia $AP$ z okręgiem. Dla każdego punktu na prostej znajdziemy jego obraz w tym odwzorowaniu. Okrąg pomyślmy z topologią dziedziczoną z $R^2$, prostą z topologią naturalną $R$ (co równoważne dziedziczonej z $R^2$). Przekształcenie prostej w okrąg jest ciągłe (wystarczy, że przeciwobrazem przedziału otwartego, tj. łuku bez końców, jest przedział otwarty). Jednocześnie jednak obrazem domkniętego zbioru $[0,\infty)$ jest fragment łuku domknięty z jednej tylko strony, otwarty z drugiej, gdyż koniec - punkt $P$ - nie należy do tego obrazu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj