Topologia, zadanie nr 1761

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
majewa888 postów: 24	2013-11-29 20:20:38 Czy zbiór A jest otwarty? Czy zbiór A jest domknięty? Rozważamy topologię R daną przez metrykę euklidesową(naturalną). 1)$A= \left\{ x \in R: sin x> \frac{1}{2} \right\} \subset R$ 2)$A= \left\{ x \in R: x^7-x^2+1 \le O \right\} \subset R$ 3)$A= \left\{x \in R^2:sin_{x1}> \frac{1}{2} \right\} \subset R^2$ 4)$A= \left\{x \in R^2:x^4_{1}+x^4_{2} \le 1\right\}\subset R^2$ 5)$A= \left\{x \in R^2:x_{1}x_{2} \le 1\right\}\subset R^2$ 6)$A= \left\{x \in R^2: [x_1]=[x_2] \right\}\subset R^2$ gdzie $[a]$ oznacza część całkowitą liczby a. W przypadku odpowiedzi Tak mam podać uzasadnienie.

tumor postów: 8070	2013-11-29 20:31:38 1) $sinx$ ciągły, a $(\frac{1}{2},\infty)$ otwarty, czyli przeciwobraz otwarty (no i nie jest domknięty, bo tylko dwa zbiory w tej topologii są domknięto-otwarte, $\emptyset$ i $R$)

tumor postów: 8070	2013-11-29 20:39:24 2) funkcja ciągła, $(-\infty,0]$ domknięty, czyli przeciwobraz domknięty i nie otwarty. ----- Uwaga, jak to robimy i co się dzieje. Albo wyraźnie widać, że używamy funkcji ciągłej określonej na $R$ (jak sinus albo jak wielomian), albo będziemy musieli napisać jakąś funkcję ciągłą określoną w $R^n$ o wartościach w $R^k$. Następnie wymyślamy, jakiego zbioru przeciwobrazem jest zbiór $A$. Jeśli jest przeciwobrazem domkniętego, to jest domknięty na mocy ciągłości funkcji, jeśli przeciwobrazem otwartego, to otwarty na mocy ciągłości funkcji. Sprawdzamy jeszcze, czy $A$ stanowi może zbiór pusty albo całą przestrzeń, bo wtedy będzie i otwarty i domknięty, jeśli nie stanowi, to otwartość wyklucza domkniętość, a domkniętość wyklucza otwartość ($R^m$ to przestrzeń spójna)

tumor postów: 8070	2013-11-29 20:42:37 3) Tu rozpatrujemy funkcję $f(x_1,x_2)=sinx_1$ Jest ciągła, jako rzutowanie funkcji ciągłej $g(x_1,x_2)=(sinx_1,x_2)$ Znów $A$ jest przeciwobrazem otwartego zbioru $(\frac{1}{2},\infty)$

tumor postów: 8070	2013-11-29 20:46:01 4) funkcja $f(x_1,x_2)=x_1^4+x_2^4$ ciągła jako wielomian, $A$ jest przeciwobrazem $(-\infty,1]$, czyli jest domknięty i nie otwarty 5) dokładnie ten sam wniosek dla innego wielomianu

tumor postów: 8070	2013-11-29 20:56:43 6) tu zrobimy oddzielnie. Odpowiedź jest przecząca zarówno gdy chodzi o zbiór otwarty jak i domknięty, ale choć w zadaniu nie proszą o uzasadnienie, to byłoby ogromnym wstydem na siedem pokoleń tak je zostawić Weźmy punkty $p=(2,3)$ i q$=(2,2)$ Zauważmy, że $q\in A$ i $p\notin A$ Zarazem jednak dla dowolnego $\epsilon>0$ mamy $(2,3-\epsilon)\in A$ $(2,2-\epsilon)\notin A$ Oznacza to, że punkty $p,q$ należą do brzegu zbioru $A$. $A$ nie jest otwarty, skoro jakikolwiek punkt z brzegu należy do $A$, nie jest również domknięty, skoro jakikolwiek punkt z brzegu nie należy do $A$. --- brzeg definiujemy na przykład $bdA=clA\backslash int A$, gdzie $clA$ to domknięcie $A$, $intA$ to wnętrze $A$. Gdyby $A$ był domknięty, to $A=clA$, czyli każdy punkt należący do brzegu należałby do $clA$ i $A$. Gdyby $A$ był otwarty, to $int A=A$, wtedy żaden punkt z brzegu nie należałby do $A$. Jak znalazłem punkty $p,q$ i dlaczego są na brzegu? Należą do domknięcia A, gdyż w KAŻDYM ich otoczeniu znajdują się punkty z $A$, nie należą do wnętrza A, gdyż w każdym ich otoczeniu znajdziemy punkty spoza $A$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj