Topologia, zadanie nr 1762

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
majewa888 postów: 24	2013-11-29 21:36:00 cd.2 Czy zbiór A jest otwarty? Czy zbiór A jest domknięty? Rozważamy topologię R daną przez metrykę euklidesową(naturalną). 7)$A=\left\{x \in R^2:\| x_1-x_2\| \le 3,0<x_1x_2<1 \right\}\subset R^2$ 8)$A= \left\{x \in R^2:x^2_{1}-3x^2_{2}-x_1=3\right\}\subset R^2$ 9)$A= \left\{x \in R^3:x_1+x_2+x_3=1\right\}\subset R^3,$ 10)$A= B \times C \subset R^3$, gdzie $B=\left\{(x,y):x^6+y^6 \le 6,C=[-1,1] \right\}$ 11)A określony nierównością :$z \ge x^2+y^2+z^2$w $R^3$

tumor postów: 8070	2013-11-29 22:04:50 9) Domknięty. Znów możemy pomyśleć, że chodzi o funkcję $f(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3$ ciągłą jako wielomian i rozważać A jako przeciwobraz zbioru $\{1\}$ Możemy także wprost z definicji zauważyć, że dla każdego punktu nie należącego do $A$ znajdziemy całe otoczenie tego punktu nie należące do $A$, co oznacza, że $X\backslash A$ jest otwarty. 8) Na dokładnie tej samej zasadzie co wyżej zbiór $A$ jest domknięty. (Wielomian jest ciągły, a przeciwobraz zbioru jednopunktowego przestrzeni metrycznej przez funkcję ciągłą jest domknięty). --- Reszta jutro, jeśli ktoś inny nie zrobi, dziś mi się nie chce. :)

tumor postów: 8070	2013-11-30 10:13:59 7) w nawiasie przydałby się symbol $\vee$ lub $\wedge$ jasno mówiący, jak potraktować te warunki. Domyślnie przecinek czytam jak $\wedge$ $B=\{x\in R^2: \|x_1-x_2\|\le 3 \}$ Jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz domkniętego $C=\{x\in R^2: 0<x_2x_2\le 1 \}$ Jest otwarty jako przeciwobraz otwartego. Żaden ze zbiorów nie zawiera się w drugim, co pozwala podejrzewać, że $A$, jako ich przekrój, nie jest ani domknięty, ani otwarty. Obieramy sobie punkty na brzegu $B$ we wnętrzu $C$ i na brzegu $C$ we wnętrzu $B$, będą to $p=(1,1)$ $q=(\frac{1}{5},3\frac{1}{5})$ $p,q$ są na brzegu $A$ (bo dowolnie blisko tych punktów są punkty z $A$), natomiast jeden z nich należy do $A$ (więc $A$ nie jest otwarty), a drugi nie należy do $A$ (więc $A$ nie jest domknięty)

tumor postów: 8070	2013-11-30 10:22:21 10) C jest domknięty (to nazywamy przedział domknięty, bo jest domknięty w topologii naturalnej) B jest domknięty jako przeciwobraz zbioru domkniętego. Wypada umieć udowodnić, że iloczyn kartezjański zbiorów domkniętych jest domknięty, co się pokazuje korzystając z faktu, że iloczyn kartezjański otwartych jest otwarty. Nie wiem, ile było na wykładzie, jeśli któryś dowód mamy tu przeprowadzić, to informuj.

tumor postów: 8070	2013-11-30 10:23:35 11) znów wielomian ciągły, $A$ jest przeciwobrazem zbioru domkniętego, nie jest zbiorem pustym ani całą przestrzenią, więc nie jest zarazem otwarty.

majewa888 postów: 24	2013-11-30 13:07:29 Co do 10 nie było jeszcze o iloczynie kartezjańskim zbiorów i domkniętych i otwartych. Ale prosiłabym bardzo o te dowody, bo zapewne to będzie:) I miałabym prośbę mogłabym do zadania :11,8,10 i 11 prosić o pomoc w zapisaniu tego za pomocą symboli, bo napewno będę musiała to przedstawić na tablicy. Dziękuję już za pomoc:)

tumor postów: 8070	2013-11-30 21:44:56 To patrzymy tak. Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi, to rozważmy w $X\times Y$ rodzinę $C=\{A\times B, A\in \tau_X, B\in\tau_Y\}$, czyli wszystkie iloczyny kartezjańskie zbiorów otwartych w $X$ i $Y$. Oznaczmy teraz przez $\tau_{X\times Y}$ rodzinę wszystkich sum podzbiorów zbioru $C$. Oczywiście $\emptyset\in \tau_{X\times Y}$, $X\times Y \in \tau_{X\times Y}$, suma dowolnie wielu zbiorów z $\tau_{X\times Y}$ należy do $\tau_{X\times Y}$. Czyli już dwa warunki topologii są spełnione. Pozostaje pokazać, że spełniony jest trzeci. Weźmy $A,B\in\tau_{X\times Y}$ oraz $x\in A\cap B$. Wtedy $x$ należy do $A$ razem z całym zbiorem $U_1\times U_2$, podobnie $x$ należy do $B$ razem z całym zbiorem $V_1\times V_2$ gdzie $U_i$ otwarte w $X$, $V_i$ otwarte w $Y$, $i=1,2$. $(U_1\times U_2)\cap(V_1\times V_2)$ jest równy $(U_1\cap V_1)\times (U_2\cap V_2)$ i niepusty (bo należy tam $x$). Stąd przekrój dwóch zbiorów z $\tau_{X\times Y}$ należy do $\tau_{X\times Y}$, a na mocy indukcji przekrój skończenie wielu także. --- Pierwszy wniosek jest prosty. Jeśli $A,B$ otwarte odpowiednio w $X,Y$, to $A\times B$ otwarty w topologii produktowej w $X\times Y$. --- Drugi wniosek. Jeśli $A\subset X, B\subset Y$ są domknięte, natomiast $x=(x_1,x_2)\in X\times Y$ nie należy do $A\times B$, to znaczy, że $x_1 \notin A$ lub $x_2 \notin B$. Jeśli $x_1\notin A$, to $X\backslash A$ otwarty, oczywiście $Y$ otwarty, zarazem $(X\backslash A)\times Y$ rozłączny z $A\times B$ i $x\in(X\backslash A)\times Y$. Analogicznie rozumujemy dla $x_2$. Stąd wniosek drugi, że dopełnienie iloczynu zbiorów domkniętych jest zbiorem otwartym, a zatem iloczyn kartezjański zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym w sensie topologii produktowej. ----------- Pomoc w symbolicznym zapisie to nie to samo, co podyktowanie całego zapisu. Pisz śmiało, więcej się nauczysz próbując. A ja sprawdzę. :) Wiadomość była modyfikowana 2013-11-30 22:19:07 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj