Topologia, zadanie nr 1780

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2013-12-04 22:37:45 Mam za zadanie podać przykład funkcji : $(a)f: R \to R, (b) f: (0,1) \to (0,1),$ która jest ciągła, lecz nie jest jednostajnie ciągła wraz z uzasadnieniem.Proszę o pomoc:(

tumor postów: 8070	2013-12-04 22:58:08 a) $f(x)=e^x$ Przeczytaj sobie warunek jednostajnej ciągłości. $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x,y}( \|x-y\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(y)\|<\epsilon )$ Tak wygląda dostosowany do naszego przykładu, czyli do naturalnej metryki na R. W przypadku tej funkcji nie jest to warunek spełniony. Weźmy bowiem dowolny $\epsilon>0$ i dowolną $\delta>0$ Zauważmy, że istnieje $x$ taki, że $f(x+\frac{\delta}{2})-f(x)=\epsilon$ Możemy bowiem liczyć $e^{x+\frac{\delta}{2}}-e^x=\epsilon$ $e^x(e^\frac{\delta}{2}-1)=\epsilon$ $e^x=\frac{\epsilon}{e^\frac{\delta}{2}-1)}$ $x=ln(\frac{\epsilon}{e^\frac{\delta}{2}-1)})$ czyli niezależnie od doboru $\epsilon$ próby dobrania $\delta$ do warunku jednostajnej ciągłości skazane są na porażkę. :) ---- powyżej pominąłem wartość bezwzględną, bo $e^x$ jest rosnąca i większy argument ma na pewno większą wartość, czyli mogłem sobie tej wartości bezwzględnej oszczędzić. Z uwagi na monotoniczność mam też pewność istnienia logarytmu wyliczonego na końcu. Bo to nie hop siup, trzeba widzieć, co się robi :) Intuicyjnie szukamy funkcji ciągłej, ale nie jednostajnie ciągłej, wśród funkcji szalejących ze stromizną.

tumor postów: 8070	2013-12-04 23:53:32 b) $f(x)=\frac{1}{x}$ albo $g(x)=ln(x)$ widzimy, że są dość strome? i znów pokażemy ładnie, że choć są ciągłe (no ja nie dowodzę ciągłości, to musiało być na analizie w swoim czasie, w razie czego możesz pokazać, że przeciwobraz przedziału otwartego jest przedziałem otwartym, co wystarczy dla ciągłości), to nie są ciągłe jednostajnie. To znaczy pokażemy, że dla danego $\epsilon$, jak by nie wybierać $\delta$, warunek i tak spełniony nie będzie. ustalmy zatem $\epsilon> 0$ i weźmy dowolnie $\delta>0$. Spróbujemy rozwiązać $f(x)-f(x+\frac{\delta}{2})>\epsilon$ $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{\delta}{2}}>\epsilon$ $x+\frac{\delta}{2}-x>\epsilonx(x+\frac{\delta}{2})$ $0>x^2+\frac{\delta}{2}x-\frac{\delta}{2\epsilon}$ Zauważamy, że $\Delta>0$, czyli są dwa miejsca zerowe, ze wzorów Viete'a szybko widzimy, że są różnych znaków. To oznacza, że przekrój rozwiązania naszej nierówności i przedziału $(0;1)$ jest niepusty, czyli znajduje się w tym przedziale $x$ dla którego warunek przy obranych $\delta$ i $\epsilon$ nie jest spełniony. ----- a jeszcze sprawdzimy, czy się uda dla $g(x)$ $g(x+\frac{\delta}{2})-g(x)>\epsilon$ $ln(x+\frac{\delta}{2})-ln(x)>\epsilon$ $ln(\frac{x+\frac{\delta}{2}}{x})>\epsilon$ $1+\frac{\delta}{2x}>e^\epsilon$ $x<\frac{\delta}{2(e^\epsilon-1)}$ zauważamy, że prawa strona jest dodatnia, czyli i tu mamy przekrój niepusty z $(0;1)$, czyli znajdujemy przy danych $\epsilon$ i $\delta$ taki $x$ w przedziale $(0;1)$, że nie jest spełniony warunek ciągłości jednostajnej. ------ Uwagi techniczne: 1) mamy topologię/metrykę naturalną na R, czyli używam wartości bezwzględnej jak we wzorze 2) ale funkcje, które biorę, są monotoniczne, czyli nie piszę wartości bezwzględnej, a od razu wynik, bo wiem, że $f$ malejąca, a $g$ rosnąca 3) w warunku ciągłości jednostajnej mamy kwantyfikator $\forall_{x,y}$ Ja za $y$ przyjmuję $x+\frac{\delta}{2}$, bo skoro coś ma zachodzić dla każdego $y$ z pewnego przedziału, to w szczególności dla takiego. I pokazuję, że dla takiego nie zachodzi. 4) rozwiązuję nierówności. Pojawiają się logarytmy i funkcje wykładnicze, ale zasadniczo nierówności te nie są bardziej skomplikowane niż licealne. Metody stosuję licealne. W tym zadaniu pokazuję, że w przedziale (0;1) znajdziemy x, dla którego spełniony jest warunek sprzeczny z warunkiem jednostajnej ciągłości 5) należy wziąć mózgową poprawkę na fakt, że w zadaniu b) mamy krótki przedział, czyli że teoretycznie moglibyśmy wypaść poza niego mając $x,y$ różniące się o $\frac{\delta}{2}$. Nie ma to praktycznego znaczenia, skoro i tak rozpatrujemy tylko te sytuacje, w których $x,y$ się w przedziale mieszczą

agusiaczarna22 postów: 106	2013-12-06 22:16:46 Mam takie pytanie czemu w a) tam Pan napisał znak = skoro w warunku jest znak < od epsilon i to samo w b) czemu tam jest znak > ? Czy Pan dowodzi niewprost ?:) A i dlaczego w b) jest tam * tam chodzi o to że pan mnoży przez licznik obie strony?? Wiadomość była modyfikowana 2013-12-06 22:19:50 przez agusiaczarna22

tumor postów: 8070	2013-12-07 08:50:33 Ustalmy na początek, że Pan to taki stary gość, który nienawidzi homoseksualistów do tego stopnia, że całe miasta wymordował, nie przepada też za aborcją, choć pozbawił życia więcej dzieci nienarodzonych niż ktokolwiek inny na tej planecie. Przynajmniej zdaniem wyznawców kilku religii. Tu nie ma religii, więc proszę o Panu ani słowa. 1) Ja nie dowodzę "niewprost". Ja WPROST dowodzę, że warunek jednostajnej ciągłości NIE jest spełniony. Wszak takie mi dałaś polecenie. Biorę funkcję ciągłą i pokazuję, że NIE jest ciągła jednostajnie. Warunek jednostajnej ciągłości mówi, że DLA KAŻDEGO $\epsilon$ ISTNIEJE $\delta$, że jeśli $x,y$ różnią się o mniej niż $\delta$, to $f(x),f(y)$ różnią się o mniej niż $\epsilon$. Biorę zatem DOWOLNE $\epsilon$ i $\delta$. Dowolny $\epsilon$ dlatego, że warunek mówi "DLA KAŻDEGO". Dowolną $\delta$ dlatego, by pokazać ostatecznie, że dla każdej warunek jest niespełniony (czyli, że nie istnieje taka, że byłby spełniony). Biorę $y=x+\frac{\delta}{2}$, bo to oznacza, że $x,y$ różnią się NA PEWNO o mniej niż $\delta$. Natomiast różnią się tak naprawdę DOWOLNIE wiele (bo $\delta$ jest dowolna). W efekcie dla każdych $\epsilon, \delta$ pokazuję, że znajdziemy $x,y$, że choć są dostatecznie blisko (bo różnią się o $\frac{\delta}{2}$ czyli mniej niż $\delta$) to ich wartości NIE SĄ blisko, bo albo są oddalone o liczbę $=\epsilon$, albo o $>\epsilon$. Czyli NIE TAK, jak nakazywałby warunek jednostajnej ciągłości. 2) W zasadzie to w b) szybko sprowadzam do wspólnego mianownika po lewej stronie, a potem obie strony mnożę przez ten mianownik. Stąd po lewej zostaje tylko licznik. Wykonaj sobie to sprowadzanie na spokojnie. Ja nie lubię przedłużać tekstu pisaniem każdego działania jak w gimnazjum, natomiast nie znaczy to, że wystarczy zerknąć na mój tekst, by go pojąć. Czasem trzeba coś samodzielnie. ------ Wiesz w ogóle jak wyglądają wykresy tych funkcji? Pomyśl teraz. Weźmy dowolną $\delta$. Dla funkcji $ln(x)$ albo $\frac{1}{x}$ i przedziału $P=(0,\delta)$ dla każdego $\epsilon>0$ znajdziemy $x,y\in P$, których wartości różnią się o więcej niż $\epsilon$. Jest to oczywiste, bo gdy zbliżamy się z argumentem do $0$, wartości funkcji uciekają do $\pm$ nieskończoności, czyli nie są ograniczone. Natomiast trzeba wiedzieć to, że uciekają. :) A powyżej masz to przeliczone równaniami. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj