Topologia, zadanie nr 1781
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| agusiaczarna22 postów: 106 |  2013-12-04 22:50:53Czy ta funkcja $(a)f:R \to R,f(x)= \sqrt{\left|x \right|}$ jest jednostajnie ciągła i dlaczego? |
| tumor postów: 8070 | 2013-12-05 10:17:31 Jest. Dlatego, że spełnia warunek jednostajnej ciągłości. :) Ustalmy $\epsilon>0$ weźmy $0<\delta<\epsilon^2$, czyli na przykład $\delta=\frac{\epsilon^2}{2}$ Chcemy pokazać $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$ Przyjmijmy zatem, na początek, że $x,y$ są oba dodatnie oraz $x\le y<x+\frac{\epsilon^2}{2}$ wówczas $x+y-\epsilon^2<2x \le 2\sqrt{xy}$ czyli $x+y-\epsilon^2< 2\sqrt{xy}$ odpowiednio przerzucamy $x+y-2\sqrt{xy}<\epsilon^2$ $(\sqrt{y}-\sqrt{x})^2<\epsilon^2$ i obustronnie pierwiastkujemy $|\sqrt{y}-\sqrt{x}|<\epsilon$ Dla $x,y$ obu ujemnych rozumowanie jest analogiczne. jeśli natomiast $x\le 0 \le y$ to $0 \le f(x) < f(\delta)=\sqrt{\frac{\epsilon^2}{2}}< \epsilon$ $0 \le f(y) < f(\delta)=\sqrt{\frac{\epsilon^2}{2}}< \epsilon$ Stąd $f(x)-f(y)$ należy do przedziału $(-\epsilon, \epsilon)$ czyli inaczej mówiąc $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ ---- Uwaga. Mamy tu znów typowy przykład. $\sqrt{x}$ jest funkcją jednostajnie ciągłą, ale nie spełnia warunku Lipschitza. Warunek ten też w pewien sposób formalizuje intuicyjne pojęcie "stromego wykresu". Funkcje lipschitzowskie są jednostajnie ciągłe, jednak w drugą stronę niekoniecznie. Wiadomość była modyfikowana 2013-12-05 10:19:35 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj