logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1782

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karola1010
postów: 46
2013-12-05 12:07:45

Witam. Bardzo prosze o pomoc to jest dla mnie baardzo wazne a nie umiem sobie z tym poradzic. Dlatego prosze o dosc jasne wytlumaczenie ;)podrawiam
a) CZy jesli szereg (sigma)a_{n} o wyrazach dowolnych spełnia warunek Cauchyego to szereg (sigma)(a_{n})^{2}rowniez spelnia warunek Cauchyego?
b) CZy jesli szereg (sigma)a_{n} o wyrazach nieujemnych spełnia warunek Cauchyego to szereg (sigma)(a_{n})^{2}rowniez spelnia warunek Cauchyego?

Wiadomość była modyfikowana 2013-12-05 12:09:45 przez karola1010

tumor
postów: 8070
2013-12-05 13:15:19

Weźmy ciąg $b_n=\sqrt{\frac{1}{n}}$, $c_n=-\sqrt{\frac{1}{n}}$

oraz $a_n=\left\{\begin{matrix} b_\frac{n+1}{2} \mbox{ dla n nieparzystych} \\ c_{\frac{n}{2}} \mbox{ dla n parzystych} \end{matrix}\right.$
innymi słowy dostajemy na zmianę wyrazy ciągu $b_n$ i $c_n$

Zauważmy, że $\sum a_n$ spełnia warunek Cauchy'ego, bowiem suma nieparzyście wielu kolejnych wyrazów ciągu równa się jednemu ze skrajnych wyrazów sumowanych, suma zaś parzyście wielu - równa jest $0$ lub jest równa sumie obu skrajnych wyrazów. W każdym z tych przypadków dla ustalonego $\epsilon>0$ da się zatem znaleźć $n_0$, że dla większych od niego $n,m$ zachodzi
$|\sum_{i=n+1}^{m}a_i|<\epsilon$.


a) odpowiedź zatem brzmi NIE, gdyż szereg $\sum (a_n)^2$ jest rozbieżny i nie może spełniać warunku Cauchy'ego.






tumor
postów: 8070
2013-12-05 13:23:13

b) jednocześnie widać, że powyższy przykład ulepiłem z wyrazów dodatnich i ujemnych.
Gdyby odpowiedź na pytanie a) była twierdząca, to w ogóle nie byłoby po co pytać w b).

Weźmy szereg o wyrazach nieujemnych spełniający warunek Cauchy'ego
to znaczy dla ustalonego $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, że dla dowolnych większych od $n_0$ liczb naturalnych $n,m$ mamy
$|\sum_{i=n+1}^{m}a_i|<\epsilon$

W szczególności, jeśli $m=n+1$, oznacza to, że dla każdego $\epsilon>0$ począwszy od pewnego $n_0$ wszystkie dalsze wyrazy są od $\epsilon$ mniejsze, czyli od pewnego miejsca wyrazy $a_i$ z całą pewnością należą do przedziału $[0,1)$.

Jeśli należą, to $0 \le a_i^2\le a_i$
czyli $|\sum_{i=n+1}^{m}a_i|<\epsilon$ pociąga
$|\sum_{i=n+1}^{m}a_i^2|<\epsilon$

odpowiedź jest zatem twierdząca.


karola1010
postów: 46
2013-12-05 13:45:46

Moglbys mi wytlumaczyc skad sie wzial przedzial [0,1) a potem Jeśli należą, to 0<ai^2<ai??


tumor
postów: 8070
2013-12-05 13:51:09

Owszem, jeśli napiszesz to zadanie w dziale "szkoła podstawowa".
W matematyce nie da się robić zadań ze studiów, jeśli nie pamiętasz rzeczy tak łatwych, że śmiesznych.

WYJAŚNIŁEM, skąd się wziął przedział. Tylko nie jesteś w stanie tego przeczytać.
Weź sobie jedną liczbę z tego przedziału, policz jej kwadrat i sprawdź, czy jest mniejszy od tej liczby. Potem weź drugą liczbę. Potem trzecią i tak dalej. A jak sprawdzisz wszystkie, to wróć tu rozmawiać.


karola1010
postów: 46
2013-12-05 14:36:38

fakt na poczatku nie zauwazylam skad sie wzielo ze 0<ai^2<ai ale zanim mi odp zauwazylam to. Po prostu nie rozumiem skad sie wzial przedzial [0,1) i tyle i stad moje pytanie.
skoro tu pisze tzn ze tego nie rozumiem, wiec nie rozumiem z czego wynika Twoje zachowanie!


tumor
postów: 8070
2013-12-05 17:54:54

Wyjaśniłem, skąd się bierze przedział. Wiem, że nie rozumiesz. Wiem, że wyjaśniłem. Wiem, że wciąż nie rozumiesz. :) Z tego wynika moje zachowanie. Nie uwierzysz, jak często mówię studentom, że powinni byli zostawić miejsce na uczelni komuś odpowiedniejszemu.

Ale skoro chcesz dowodu, że wyjaśniłem, to proszę:

"W szczególności, jeśli $m=n+1$, oznacza to, że dla każdego $\epsilon>0$ począwszy od pewnego $n_0$ wszystkie dalsze wyrazy są od $\epsilon$ mniejsze, czyli od pewnego miejsca wyrazy $a_i$ z całą pewnością należą do przedziału $[0,1)$."

Co tu jest napisane? Że należy przede wszystkim pomyśleć o sumie
$\sum_{i=n+1}^{n+1}a_i$ (pomyślałaś?), która to suma jest równa wyrazowi $a_{n+1}$.
W zadaniu założony jest warunek Cauchy'ego, zatem dla każdego $\epsilon>0$ mamy $a_{n+1}>\epsilon$ począwszy od pewnego $n_0$.

Zatem od pewnego miejsca wyrazy ciągu, NIEUJEMNE, spełniają nierówność $0 \le a_n <\epsilon$.
Inaczej można ten fakt zapisać $a_n\in [0,\epsilon)$.
Dlaczego wybrałem $1$? Żeby było NAJPROŚCIEJ zrozumieć, że wówczas właśnie $0 \le a_i^2 \le a_i$.
Równie dobrze mogłem wziąć zamiast $1$ dowolny mniejszy $\epsilon$, ale wtedy ktoś mógłby się nie domyślić, dlaczego taki przedział. Wystarczył mi DOWOLNY przedział o lewym końcu w zerze, prawym w $\epsilon\le 1$, liczby z tego przedziału spełniają tę nierówność, która jest potrzebna. ;)

Tylko że wszystko to napisałem. I to, że rzecz wynika z warunku Cauchy'ego, i to, że następnie tworzymy nierówność, i to, gdzie ta nierówność zostaje użyta, i to, że wyrazy są nieujemne. Wszystko było. A NIE JESTEŚMY w przedszkolu, gdzie się dziecku tłumaczy dodawanie, gdy zapomni. Jeśli nie rozumie się rzeczy podstawowych, jeśli wyjaśnienia wymagają jeszcze WYJAŚNIEŃ aż po gimnazjalne nierówności, to problem jest w wyborze drogi życia, a nie w zadaniu.


karola1010
postów: 46
2013-12-05 22:55:18

Dziekuje. nie rozumiem tylko dlaczego od razu az tak bardzo mnie krytykujesz. Dopiero zaczelam swoja przygode z analiza i dla mnie nie jest wszystko od razu tak bardzo jasne jak dla Ciebie. Chyba wazne jest to ze chce sie tego nauczyc i zrozumiec wiec poprosilam o pomoc. Chyba to tez sie liczy, prawda?
W kazdym razie dziekuje.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj