Analiza matematyczna, zadanie nr 1782

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
karola1010 postów: 46	2013-12-05 12:07:45 Witam. Bardzo prosze o pomoc to jest dla mnie baardzo wazne a nie umiem sobie z tym poradzic. Dlatego prosze o dosc jasne wytlumaczenie ;)podrawiam a) CZy jesli szereg (sigma)a_{n} o wyrazach dowolnych spełnia warunek Cauchyego to szereg (sigma)(a_{n})^{2}rowniez spelnia warunek Cauchyego? b) CZy jesli szereg (sigma)a_{n} o wyrazach nieujemnych spełnia warunek Cauchyego to szereg (sigma)(a_{n})^{2}rowniez spelnia warunek Cauchyego? Wiadomość była modyfikowana 2013-12-05 12:09:45 przez karola1010

tumor postów: 8070	2013-12-05 13:15:19 Weźmy ciąg $b_n=\sqrt{\frac{1}{n}}$, $c_n=-\sqrt{\frac{1}{n}}$ oraz $a_n=\left\{\begin{matrix} b_\frac{n+1}{2} \mbox{ dla n nieparzystych} \\ c_{\frac{n}{2}} \mbox{ dla n parzystych} \end{matrix}\right.$ innymi słowy dostajemy na zmianę wyrazy ciągu $b_n$ i $c_n$ Zauważmy, że $\sum a_n$ spełnia warunek Cauchy'ego, bowiem suma nieparzyście wielu kolejnych wyrazów ciągu równa się jednemu ze skrajnych wyrazów sumowanych, suma zaś parzyście wielu - równa jest $0$ lub jest równa sumie obu skrajnych wyrazów. W każdym z tych przypadków dla ustalonego $\epsilon>0$ da się zatem znaleźć $n_0$, że dla większych od niego $n,m$ zachodzi $\|\sum_{i=n+1}^{m}a_i\|<\epsilon$. a) odpowiedź zatem brzmi NIE, gdyż szereg $\sum (a_n)^2$ jest rozbieżny i nie może spełniać warunku Cauchy'ego.

tumor postów: 8070	2013-12-05 13:23:13 b) jednocześnie widać, że powyższy przykład ulepiłem z wyrazów dodatnich i ujemnych. Gdyby odpowiedź na pytanie a) była twierdząca, to w ogóle nie byłoby po co pytać w b). Weźmy szereg o wyrazach nieujemnych spełniający warunek Cauchy'ego to znaczy dla ustalonego $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, że dla dowolnych większych od $n_0$ liczb naturalnych $n,m$ mamy $\|\sum_{i=n+1}^{m}a_i\|<\epsilon$ W szczególności, jeśli $m=n+1$, oznacza to, że dla każdego $\epsilon>0$ począwszy od pewnego $n_0$ wszystkie dalsze wyrazy są od $\epsilon$ mniejsze, czyli od pewnego miejsca wyrazy $a_i$ z całą pewnością należą do przedziału $[0,1)$. Jeśli należą, to $0 \le a_i^2\le a_i$ czyli $\|\sum_{i=n+1}^{m}a_i\|<\epsilon$ pociąga $\|\sum_{i=n+1}^{m}a_i^2\|<\epsilon$ odpowiedź jest zatem twierdząca.

karola1010 postów: 46	2013-12-05 13:45:46 Moglbys mi wytlumaczyc skad sie wzial przedzial [0,1) a potem Jeśli należą, to 0<ai^2<ai??

tumor postów: 8070	2013-12-05 13:51:09 Owszem, jeśli napiszesz to zadanie w dziale "szkoła podstawowa". W matematyce nie da się robić zadań ze studiów, jeśli nie pamiętasz rzeczy tak łatwych, że śmiesznych. WYJAŚNIŁEM, skąd się wziął przedział. Tylko nie jesteś w stanie tego przeczytać. Weź sobie jedną liczbę z tego przedziału, policz jej kwadrat i sprawdź, czy jest mniejszy od tej liczby. Potem weź drugą liczbę. Potem trzecią i tak dalej. A jak sprawdzisz wszystkie, to wróć tu rozmawiać.

karola1010 postów: 46	2013-12-05 14:36:38 fakt na poczatku nie zauwazylam skad sie wzielo ze 0<ai^2<ai ale zanim mi odp zauwazylam to. Po prostu nie rozumiem skad sie wzial przedzial [0,1) i tyle i stad moje pytanie. skoro tu pisze tzn ze tego nie rozumiem, wiec nie rozumiem z czego wynika Twoje zachowanie!

tumor postów: 8070	2013-12-05 17:54:54 Wyjaśniłem, skąd się bierze przedział. Wiem, że nie rozumiesz. Wiem, że wyjaśniłem. Wiem, że wciąż nie rozumiesz. :) Z tego wynika moje zachowanie. Nie uwierzysz, jak często mówię studentom, że powinni byli zostawić miejsce na uczelni komuś odpowiedniejszemu. Ale skoro chcesz dowodu, że wyjaśniłem, to proszę: "W szczególności, jeśli $m=n+1$, oznacza to, że dla każdego $\epsilon>0$ począwszy od pewnego $n_0$ wszystkie dalsze wyrazy są od $\epsilon$ mniejsze, czyli od pewnego miejsca wyrazy $a_i$ z całą pewnością należą do przedziału $[0,1)$." Co tu jest napisane? Że należy przede wszystkim pomyśleć o sumie $\sum_{i=n+1}^{n+1}a_i$ (pomyślałaś?), która to suma jest równa wyrazowi $a_{n+1}$. W zadaniu założony jest warunek Cauchy'ego, zatem dla każdego $\epsilon>0$ mamy $a_{n+1}>\epsilon$ począwszy od pewnego $n_0$. Zatem od pewnego miejsca wyrazy ciągu, NIEUJEMNE, spełniają nierówność $0 \le a_n <\epsilon$. Inaczej można ten fakt zapisać $a_n\in [0,\epsilon)$. Dlaczego wybrałem $1$? Żeby było NAJPROŚCIEJ zrozumieć, że wówczas właśnie $0 \le a_i^2 \le a_i$. Równie dobrze mogłem wziąć zamiast $1$ dowolny mniejszy $\epsilon$, ale wtedy ktoś mógłby się nie domyślić, dlaczego taki przedział. Wystarczył mi DOWOLNY przedział o lewym końcu w zerze, prawym w $\epsilon\le 1$, liczby z tego przedziału spełniają tę nierówność, która jest potrzebna. ;) Tylko że wszystko to napisałem. I to, że rzecz wynika z warunku Cauchy'ego, i to, że następnie tworzymy nierówność, i to, gdzie ta nierówność zostaje użyta, i to, że wyrazy są nieujemne. Wszystko było. A NIE JESTEŚMY w przedszkolu, gdzie się dziecku tłumaczy dodawanie, gdy zapomni. Jeśli nie rozumie się rzeczy podstawowych, jeśli wyjaśnienia wymagają jeszcze WYJAŚNIEŃ aż po gimnazjalne nierówności, to problem jest w wyborze drogi życia, a nie w zadaniu.

karola1010 postów: 46	2013-12-05 22:55:18 Dziekuje. nie rozumiem tylko dlaczego od razu az tak bardzo mnie krytykujesz. Dopiero zaczelam swoja przygode z analiza i dla mnie nie jest wszystko od razu tak bardzo jasne jak dla Ciebie. Chyba wazne jest to ze chce sie tego nauczyc i zrozumiec wiec poprosilam o pomoc. Chyba to tez sie liczy, prawda? W kazdym razie dziekuje.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj