Topologia, zadanie nr 1786

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
szyszunia07 postów: 24	2013-12-06 20:26:17 Jak zrobić takie zadania: 1)Wykaż, że skończona suma zbiorów zwartych w przestrzeni metrycznej jest zbiorem zwartym. Czy twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych zbiorów zwartych? 2)Wykaż, że skończony iloczyn zbiorów zwartych w przestrzeni metrycznej jest zbiorem zwartym. Czy to twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych iloczynów zbiorów zwartych?

tumor postów: 8070	2013-12-07 15:02:41 1) Jeśli $A_1,...,A_k$ są zwarte, to znaczy z ich pokryć da się wybrać podpokrycia skończone. Jeśli znajdziemy pokrycie $P$ sumy $\bigcup_{i=1}^k A_i$, to niech $P_j$ będzie podzbiorem tego pokrycia, którego elementy mają niepusty przekrój z $A_j$. $P_j$ jest pokryciem $A_j$, zatem istnieje podpokrycie skończone $R_j\subset P_j$. Suma $\bigcup_{i=1}^k R_i$ jest skończonym pokryciem zbioru $\bigcup_{i=1}^k A_i$. Podejrzewam, że dalej pytasz, czy twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych SUM zbiorów zwartych, czyli nie tylko skończonych. Nie jest. Weźmy zbiory postaci $A_n=[n,n+\frac{1}{2}]$. Są zwarte, natomiast ich suma po $n\in N$ nie jest zwarta, łatwo znaleźć pokrycie, dla którego nie istnieje podpokrycie skończone.

tumor postów: 8070	2013-12-07 15:38:05 2) Zauważmy, że w przestrzeni metrycznej zbiór zwarty jest domknięty. Dowód pewnie się pojawił. Jeśli mamy ciąg zbieżny wyrazów zbioru zwartego $A$, to ma on jedną granicę, czyli każdy podciąg ma tę samą granicę, czyli należy ona do $A$. Przekrój dowolnie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym (przez prawo de Morgana, suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym). Przekrój dowolnie wielu zbiorów zwartych jest zatem domkniętym podzbiorem dowolnego z tych zbiorów zwartych. By zakończyć dowód, należy jeszcze pokazać, że domknięty podzbiór zbioru zwartego też jest zwarty. Niech zatem $P$ będzie pokryciem zbioru domkniętego $A$ w zwartej przestrzeni $X$. Wówczas $P\cup \{X\backslash A\}$ jest pokryciem $X$, zatem istnieje skończone podpokrycie $R$ przestrzeni $X$, zatem $R\backslash (X\backslash A)$ jest pokryciem skończonym zbioru $A$. Jak widać nigdzie nie korzystaliśmy ze skończoności, nie jest to warunek konieczny.

szyszunia07 postów: 24	2013-12-08 00:35:17 A mogłabym prosić o kontrprzykład do 1)i 2)?:)

tumor postów: 8070	2013-12-08 09:22:36 Dzieci się uczy czytać w podstawówce. Te dzieci, które jeszcze nie umieją czytać. Potem jest gimnazjum, gdzie się szkoli umiejętność czytania. Potem jest liceum, gdzie się czyta i czyta. Dopiero następne w kolejności są studia, gdzie już wykładowcy wierzą, że student/studentka potrafi czytać. Jeśli jednak nie potrafi, co się powinno zrobić? Zmienić studia w podstawówkę, czy wywalić nienadającą się osobę? Gdy zadanie dotyczy matematyki, mogę rozwiązać. Teraz jednak problem zaczyna się i kończy na nieumiejętności przeczytania tego rozwiązania. Może mamę poproś?

szyszunia07 postów: 24	2013-12-08 14:46:40 Dlaczego od razu, że nie przeczytałam? Jak ja to przeczytałam i na zajęciach potrzebuję też do tego kontrprzykładu. Pytam o kontrprzykład, wiem że nie jest podany w zadaniu, ale ja chciałabym go znać.

tumor postów: 8070	2013-12-08 14:58:56 Student, który nie powinien wylecieć ze studiów momentalnie na zbity pysk: 1. umie czytać 2. upomniany, że nie przeczytał, CZYTA 3. upomniany, że nie przeczytał, nie łże, że czytał 4. zadania, które ma rozwiązać, rozwiązuje sam 5. kontrprzykłady, które ma podać, podaje sam 6. wie, że jeśli ma dowiedzioną tezę, to kontrprzykłady nie istnieją 7. umie w moim tekście powyżej znaleźć kontrprzykład, bo go tam już napisałem. Zgadniesz, jakie znam 7 doskonałych powodów wywalenia Cię ze studiów? Każdy jeden wystarczający.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj