Topologia, zadanie nr 1787

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
cukierek123 postów: 15	2013-12-07 15:39:02 Sprawdzić, czy rodzina R jest topologią na zbiorze X. Jeśli tak wyznaczyć rodzinę zbiorów domknietych: a) $x =\emptyset$ b) $x \neq\emptyset$, R={$\emptyset$,X} c) $x \neq\emptyset$, R=2^x d) X={a,b}, R={$\emptyset$,{a},{a.b}},$a\neq b$ e) X={a.b,c} R={$\emptyset$,{a},{a,b},{a,b,c}} $a\neq b$,$a\neq c$, $b\neq c$ f) X={a,b,c} R={$\emptyset$, {a},{b},{c},{a,b,c}} $a\neq b$, $a\neq c$, $b\neq c$ g)$X=\emptyset$,R={U$\subset$ X/U=$\emptyset$v\|X/U\|<N0 h)$X=\emptyset$, R=U$\subset$X/U=X v \|U\|< N0

tumor postów: 8070	2013-12-07 17:00:47 a) Nie ma zbioru $R$, to jak ma on być topologią? Ale zapewne w definicji masz $X$ niepusty, czyli nie mówimy w przypadku pustego o topologii. b) jest to topologia, Warunki są takie 1. $\emptyset, X \in R$ (czyli spełniony w sposób oczywisty) 2. Dla dowolnej podrodziny $R$ suma tej podrodziny należy do $R$ (sumą podrodziny jest tu tylko $\emptyset$ lub $X$, czyli warunek spełniony) 3. Dla dowolnych dwóch zbiorów z $R$ ich przekrój należy do $R$ (przekrojem tym w tym przypadku jest $\emptyset$ lub $X$, zatem warunek spełniony) Rodzinę zbiorów domkniętych będę oznaczał $C(X)$, tu $C(X)=R$ (Są to dopełnienia zbiorów z $R$, w tym przypadku dopełnienie każdego zbioru z $R$ należy do $R$) Wiadomość była modyfikowana 2013-12-07 17:05:04 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-12-07 17:10:38 Pytasz o rzeczy najbardziej oczywiste. Może warto by było też się POUCZYĆ? :) c) 1. oczywiście $\emptyset$ i $X$ należą do $2^X$ 2. oczywiście suma dowolnie wielu zbiorów z $2^X$ należy do $2^X$ 3. oczywiście przekrój dwóch zbiorów z $2^X$ należy do $2^X$. I nie kłamię, że to oczywistości. Wystarczy wiedzieć, co to $2^X$ $C(X)=R$ (Tu także dopełnienie dowolnego elementu z $R$ należy do $R$) d) 1. $\emptyset$ i $X$ należą do $R$, co widać naocznie 2. sprawdzamy wszystkie możliwe sumy elementów z $R$, też należą, czyli ok 3. Sprawdzamy wszystkie możliwe przekroje dwóch elementów z $R$, należą do $R$, czyli ok. Ja tego nie piszę, ale sprawdza się wszystkie, wszystkie, wszystkie w głowie. :) $C(X)=\{\emptyset, \{b\},\{a,b\}\}$

tumor postów: 8070	2013-12-07 17:15:07 e) analogicznie do d), jest topologią, $C(X)=\{\emptyset,\{c\},\{b,c\},\{a,b,c\} \}$ f) nie jest topologią, suma elementów $\{a\}, \{b\}$ nie należy do $R$

tumor postów: 8070	2013-12-07 17:36:14 g) żeby zrobić kreseczkę $\backslash$ oznaczającą odejmowanie, piszemy \backslash następnie zaznaczamy to i klikamy w niebieski napis "TEX" po lewej. :) Oczywiście można najpierw napisać większy wzór, potem cały zaznaczyć i nacisnąć "TEX". To, co jest między znacznikami TEX będzie INTERPRETOWANE, czyli serwer to przerobi na wzory. :) Żeby zrobić indeks piszemy np A_{indeks}^n, co system przerobi na $A_{indeks}^n$, oczywiście gdy będzie wewnątrz znaczników TEX. W ogóle w tych poleceniach robisz błędy, postaraj się uniknąć, bo przy trudniejszych przykładach się nie domyślę. ---- Tutaj po pierwsze zakładam, że $X$ jest niepusty. Po drugie, jeśli przykład wygląda tak: $R=\{U\subset X: U=\emptyset \vee \|X\backslash U\|<\aleph_0 \}$ to 1. $\emptyset$ należy do $R$, co widać $X$ należy do $R$, bo $\|X\backslash X\|=0<\aleph_0$ 2. suma dowolnie wielu zbiorów należących do $R$ może być zbiorem pustym (gdy wszystkie te zbiory są puste) i wtedy należy do $R$, a jeśli nie jest, to musi spełniać drugi warunek (bo gdy dopełnienie co najmniej jednego elementu sumy ma skończoną ilość elementów, to i dopełnienie sumy ma skończoną ilość elementów) 3. jeśli bierzemy przekrój dwóch zbiorów, których dopełnienia mają skończoną ilość elementów, to i dopełnienie przekroju ma skończoną ilość elementów. Jeśli natomiast jeden ze zbiorów jest pusty, to przekrój jest zbiorem pustym Tak więc mamy tu topologię. $C(X)=\{D\in X: D=X \vee \|D\|<\aleph_0 \}$ h) znów zakładam, że X jest niepusty jeśli przykład wygląda tak $R=\{U\subset X: U=X \vee \|U\|<\aleph_0 \}$ to jeśli $X$ jest zbiorem skończonym, to tak zdefiniowane $R$ równe jest $2^X$ i ten przykład już był. Jeśli natomiast $X$ jest zbiorem nieskończonym, to suma przeliczalnej ilości zbiorów skończonych może dać zbiór nieskończony, który jednak nie stanowi całego $X$ (inaczej mówiąc, zbiór nieskończony ma także nieskończony podzbiór właściwy, który jest sumą zbiorów skończonych - na przykład jednoelementowych)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj