Topologia, zadanie nr 1788

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
cukierek123 postów: 15	2013-12-07 15:40:28 Wykazać, że rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni metrycznej (X,d)otwartych względem metryki d tworzy topologię tej przestrzeni.

tumor postów: 8070	2013-12-07 17:45:12 Podejrzewam, że zbiór otwarty w przestrzeni metrycznej definiowaliście jako sumę kul, czyli inaczej taki zbiór, że dla każdego x należącego do tego zbioru także pewna kula o środku w x i niezerowym promieniu zawiera się w tym zbiorze. Jeśli wprowadzasz nowe pojęcie, to mi pisz, jak definiowaliście. Często da się zdefiniować różnie, a wróżką nie jestem. Ale wykażmy, wykażmy. 1. Oczywiście $\emptyset $otwarty względem metryki, podobnie $X$ otwarty względem metryki. Spełniają przytoczoną moją definicję. 2. Jeśli weźmiemy sumę dowolnie wielu zbiorów otwartych względem metryki, to i ta suma będzie otwarta, bo każdy x będzie się wraz z kulą zawierał w tym zbiorze, w którym się zawierał, a razem z nim - w sumie zbiorów otwartych. :) Bardziej formalnie $x\in K(x,r)\subset A_i \subset \bigcup_{j\in J}A_j$ 3. Jeśli $x \in A_i\cap A_j$, to $x\in K(x,r_i)\subset A_i$ oraz $x\in K(x,r_j)\subset A_j$. Niech $r=min(r_i, r_j)$, wówczas $x\in K(x,r)\subset A_i\cap A_j$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj