logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1817

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

agusiaczarna22
postów: 106
2013-12-15 13:03:55

Mam wykazać, że jeżeli funkcja ciągła:$f:X\rightarrow Y$ jest bijekcją oraz X jest przestrzenią metryczną zwartą,to Y jest przestrzenią zwartą, a $f^{-1}$ jest funkcją ciągłą.Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2013-12-22 09:26:07

Wybierzmy dowolne pokrycie $P_1$ otwarte przestrzeni $Y$.
$f$ jest ciągła, zatem przeciwobrazy elementów tego pokrycia są pokryciem otwartym przestrzeni $X$. $X$ zwarta, zatem da się wybrać podpokrycie skończone. Obrazy elementów tego podpokrycia stanowią skończone podpokrycie $P_2$ pokrycia $P_1$ przestrzeni $Y$, gdyż $f$ jest bijekcją.

Jeśli $f$ jest bijekcją to $f(f^{-1}(A))=A$, zatem nie tylko przeciwobrazem zbioru otwartego jest zbiór otwarty, ale także obrazem zbioru otwartego jest zbiór otwarty, co daje ciągłość funkcji $f^{-1}$


Wiadomość była modyfikowana 2013-12-22 09:26:37 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj