Topologia, zadanie nr 1817

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2013-12-15 13:03:55 Mam wykazać, że jeżeli funkcja ciągła:$f:X\rightarrow Y$ jest bijekcją oraz X jest przestrzenią metryczną zwartą,to Y jest przestrzenią zwartą, a $f^{-1}$ jest funkcją ciągłą.Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2013-12-22 09:26:07 Wybierzmy dowolne pokrycie $P_1$ otwarte przestrzeni $Y$. $f$ jest ciągła, zatem przeciwobrazy elementów tego pokrycia są pokryciem otwartym przestrzeni $X$. $X$ zwarta, zatem da się wybrać podpokrycie skończone. Obrazy elementów tego podpokrycia stanowią skończone podpokrycie $P_2$ pokrycia $P_1$ przestrzeni $Y$, gdyż $f$ jest bijekcją. Jeśli $f$ jest bijekcją to $f(f^{-1}(A))=A$, zatem nie tylko przeciwobrazem zbioru otwartego jest zbiór otwarty, ale także obrazem zbioru otwartego jest zbiór otwarty, co daje ciągłość funkcji $f^{-1}$ Wiadomość była modyfikowana 2013-12-22 09:26:37 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj