Topologia, zadanie nr 1826

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzoannam89 postów: 34	2013-12-17 11:01:56 Niech $\left\{ x_n\right\}$ będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ spełniającym warunek: (A)$\lim_{n\to\infty}$ $d(x_n,x_{n+1})=0$ 1)Wykaż, że jeżeli ciąg $\left\{ x_n\right\}$ spełnia warunek (A), to spełnia także warunek : (B)$\forall k\ge 2\lim_{n \to \infty}$ $d(x_n,x_{n+k})=0$ 2)Wykaż, że jeżeli ciąg $\left\{ x_n\right\}$ jest zbieżny, to $\left\{ x_n\right\}$ spełnia warunek (A). 3)Wskaż ciąg $\left\{ x_n\right\} \subset R^2$, który spełnia warunek (A), lecz nie jest zbieżny. 4) Niech X będzie przestrzenią metryczną zwartą. Czy z warunku (A), wynika że ${x_n}$ jest zbieżny: podaj dowód i kontrprzykład. 5)Czym się różni warunek zbieżności ciągu Cauchy'ego od warunku (B)? Bardzo proszę o pomoc:( Wiadomość była modyfikowana 2013-12-17 11:02:18 przez dzoannam89

tumor postów: 8070	2013-12-22 08:57:19 1) Warunek (A) mówi, że dla każdego $\epsilon>0$ od pewnego miejsca spełniony jest warunek $d(x_n,x_{n+1})<\epsilon$. Jeśli ustalimy $k\ge 2$, to od pewnego miejsca mamy $d(x_n,x_{n+1})<\frac{\epsilon}{k}$ $d(x_{n+1},x_{n+2})<\frac{\epsilon}{k}$ ... $d(x_{n+k-1},x_{n+k})<\frac{\epsilon}{k}$ co z warunku trójkąta daje $d(x_{n},x_{n+k})<k*\frac{\epsilon}{k}=\epsilon$ czyli warunek (B) Wiadomość była modyfikowana 2013-12-22 09:10:29 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-12-22 09:02:07 2) jeśli ciąg $\{x_n\}$ jest zbieżny do granicy $x$, to dla każdego $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, że dla $n>n_0$ mamy $d(x_n,x)<\epsilon$ Czyli przy ustalonym $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, że dla $n>n_0$ mamy $d(x_n,x)<\frac{\epsilon}{2}$ $d(x_{n+1},x)<\frac{\epsilon}{2}$ co z warunku trójkąta daje $d(x_{n+1},x_n)<2*\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ co oznacza (A)

tumor postów: 8070	2013-12-22 09:05:42 3) Wyobraź sobie okrąg, powiedzmy o promieniu $1$ (ale to dowolne), a wyrazy ciągu $\{x_n\}$ znajdują się na okręgu i wyraz $x_{n+1}$ jest w stosunku do poprzedniego przesunięty o kąt $\frac{\pi}{n}$. (tylko to ładnie zapisz. Przy użyciu sin i cos :P)

tumor postów: 8070	2013-12-22 09:08:22 4) właśnie byłem sprytny i dałem kontrprzykład w 3) Możemy wziąć zwarty podzbiór $R^2$ taki, że wciąż możemy w nim wkleić okrąg.

tumor postów: 8070	2013-12-22 09:17:17 5) różni się kolejnością kwantyfikatorów. W warunku Cauchy'ego mamy $\forall_{\epsilon>0} \exists_{n_0>0} \forall_{n>n_0}\forall_{k\ge 2} d(x_n,x_{n+k})<\epsilon$ a w warunku (B) mamy $\forall_{\epsilon>0}\forall_{k\ge 2} \exists_{n_0>0} \forall_{n>n_0} d(x_n,x_{n+k})<\epsilon$ Jak widać w warunku Cauchy'ego $n_0$ nie jest zależne od $k$, a w warunku (B) jest. Możemy dobierać oddzielnie dla różnych $k$, co nam nie gwarantuje zbieżności nawet w przestrzeni zwartej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj