Inne, zadanie nr 1834

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
latino_22 postów: 2	2013-12-22 21:46:30 Z przedziału $\left\langle 0,1 \right\rangle$ wybieramy losowo dwa punkty x i y. Dla jakich $a\in R$ prawdopodobieństwo zdarzenia $xy\ge a$ jest większe niż $\frac{1}{2}$

tumor postów: 8070	2013-12-22 23:25:07 Losowanie $x,y$ z przedziału jest jak losowanie punktu $(x;y)$ z kwadratu $(0,1)^2$. Pole tego kwadratu to $1$. Warunek $xy< a$ jest spełniony poniżej hiperboli $y=\frac{a}{x}$ (oczywiście bierzemy tylko część wspólną z kwadratem. Fragment kwadratu, który znajduje się poniżej hiperboli, ma pole $\int_0^a 1dx+\int_a^1 \frac{a}{x}dx=a+a(ln1-lna)=a(1-lna)$ Należy rozwiązać nierówność, kiedy to pole jest mniejsze niż $\frac{1}{2}$ (wtedy nad hiperbolą fragment kwadratu będzie mieć pole większe niż $\frac{1}{2}$) ---- Można od razu liczyć pole fragmentu nad hiperbolą, to $\int_a^1 (1-\frac{a}{x})dx=[x-alnx]_a^1=1-a(1-lna)$ czyli to samo co wyżej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj