Analiza matematyczna, zadanie nr 1839

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mal12 postów: 4	2013-12-27 14:22:52 Zbadaj monotoniczność podanych poniżej ciągów 1) $a_{n}=\frac{n!(2n)!}{(3n)!}$ dla $n\in N $ 2) $ b_{n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}+...+\frac{1}{3n} $ dla $ n\in N$ Wiadomość była modyfikowana 2013-12-28 20:35:01 przez mal12

pm12 postów: 493	2013-12-27 15:36:52 1) $a_{n}$ = $\frac{n!\cdot(2n)!}{(3n)!}$ Ten ciąg to ciąg liczb dodatnich Pokażę, że $\forall_{n \in N}$ $a_{n}$>$a_{n+1}$ $a_{n+1}$ = $\frac{(n+1)!\cdot(2n+2)!}{(3n+3)!}$ = $\frac{n!(n+1)\cdot(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(3n)!(3n+1)(3n+2)(3n+3)}$ = $\frac{n!\cdot(2n)!}{(3n)!}$ $\cdot$ $\frac{2(n+1)(2n+1)}{3(3n+1)(3n+2)}$ = = $a_{n}$ $\cdot$ $\frac{2(n+1)(2n+1)}{3(3n+1)(3n+2)}$ < $a_{n}$ , bo $\forall_{n \in N}$ $\frac{2(n+1)(2n+1)}{3(3n+1)(3n+2)}$ < 1

mal12 postów: 4	2013-12-27 22:29:40 a nie powinno być w założeniu $a_{n+1}>a_{n}$ Wiadomość była modyfikowana 2013-12-28 20:35:38 przez mal12

tumor postów: 8070	2013-12-30 08:41:20 mal12, tu nie ma ZAŁOŻENIA, że $a_{n+1}<a_n$. Tu jest pokazane, że taka nierówność zachodzi. ---- natomiast w 2) $a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}+...+\frac{1}{3n}$ $a_{n+1}=\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+4}+\frac{1}{2n+5}...+\frac{1}{3n+3}$ Stąd $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$ Wyrażenie to należy niby sprowadzić do wspólnego mianownika, ale interesują nas tylko znaki. W mianowniku oczywiście jest dodatnie. Należy tylko przeliczyć znak wyrażenia w liczniku, czyli przez chwilę mnożyć nawiasy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj