Teoria mnogości, zadanie nr 1848

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
onlyhope69 postów: 20	2013-12-31 11:23:26 Proszę o pokazanie w jaki sposób rozwiązać zadanie tego typu bo kompletnie sobie z tym nie radzę . 1. Zbadaj, czy relacja R $\subset$ $X^{2}$ jest relacją równoważności, dla relacji równoważności opisz klasy równoważności a) X=N\{1},nRm$\iff$ NWD (n,m)> 1 b) X=N, nRm $\iff$ a\|\|m-n\| a$\in$\{1} c) $X=N^{2}$ (n,m)R(k,l) $\iff$ n+l=m+k d) $X=R^{2}$ (x,y)R(z,w) $\iff$ $x^{2}$+$y^{2}$=$z^{2}$+$w^{2}$ Z góry dziękuje za pomoc :)

tumor postów: 8070	2013-12-31 13:55:16 A w jaki sposób sprawdzasz, czy ser jest w lodówce, gdy już stoisz naprzeciw otwartej lodówki? Używasz jakiejś magii czy tylko patrzysz? :) Tu pytają cię, czy to żółte w folii to kostka sera czy nie kostka sera. Zatem się przypatrz i powiedz. Kostkę sera poznajemy po tym, że jest - zwrotna - symetryczna - przechodnia Natomiast choćby było żółte, to jeśli nie spełnia tych warunków, jest to jakaś seropodobna podróba. a) warunek zwrotności mówi, że $\forall_{x\in X} xRx$ Czy tu jest prawdą, że $NWD(x,x)>1$? Jest, bo $NWD(x,x)=x\in N\backslash \{1\}$ warunek symetrii mówi, że $\forall_{x,y} xRy \iff yRx$ Ale oczywiście $NWD(x,y)=NWD(y,x)$, zatem jeśli $NWD(x,y)>1$ to także $NWD(y,x)>1$, czyli jest symetryczna. warunek przechodniości mówi, że $\forall_{x,y,z} xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz$ Czy jest tak, że gdy $NWD(x,y)>1$ oraz $NWD(y,z)>1$, to także musi być $NWD(x,z)>1$? Nie, nie musi tak być. Na przykład dla $x=2,y=6,z=3$ warunek ten nie zachodzi. Zatem ta relacja nie jest serem, choć nieźle udawała.

tumor postów: 8070	2013-12-31 14:13:47 b) czytelniej proszę c) elementami są pary liczb naturalnych (i dla rozwiązania nie ma znaczenia, czy mówimy o liczbach naturalnych z zerem czy bez zera) Sprawdzamy zwrotność, czyli pytamy, czy para liczb jest w relacji sama ze sobą. Czyli, czy $(m,n)R(m,n)$. Czyli, czy $m+n=m+n$. To oczywiście prawda, czyli relacja zwrotna. Symetryczność, czyli czy gdy zachodzi $(m,n)R(k,l)$ to musi zarazem zachodzić $(k,l)R(m,n)$. Ale przecież to znów dość jasne, że jeśli $m+l=n+k$, to i w drugą stronę $k+n=m+l$. A skoro tak, to warunek spełniony i relacja symetryczna. Przechodniość, czyli czy jeśli $(m,n)R(k,l)$ i $(k,l)R(p,q)$, to musi zachodzić także $(m,n)R(p,q)$. Ale jeśli $m+l=n+k$ oraz $k+q=l+p$, to wówczas $m+q=n+k-l+l+p-k=n+p$, a to dowodzi przechodniości. Zatem mamy tu zdecydowanie do czynienia z serem. Skoro tak, to należy wyznaczyć klasy równoważności. Dla każdej pary liczb jej klasą równoważności są te pary, które są z nią w relacji. Sprytnie będzie wypisać te klasy abstrakcji w dwóch grupach: $[(n,0)] = \{(a,b)\in N^2:a=n+b\}$ dla wszystkich $n\in N\cup \{0\}$ oraz $[(0,m)]=\{(a,b)\in N^2:b=m+a\}$ dla wszystkich $m\in N\backslash \{0\}$ Poobserwuj trochę ten zapis. Zauważ, że WSZYSTKIE pary liczb naturalnych należą do którejś klasy abstrakcji. Zarazem jednak jeśli weźmiesz po parze z różnych klas abstrakcji, nie są one w relacji. ------ Uwaga pierwsza. Napisałem, że nie ma znaczenia, czy bierzemy naturalne z zerem czy bez. Domyślnie liczyłem z zerem, jeśli ma być bez zera, to w klasach abstrakcji trzeba wprowadzić drobne, naprawdę drobne modyfikacje. Uwaga druga. Zbiór klas abstrakcji, które napisałem powyżej, po dodaniu odpowiednich działań, nazywa się liczbami całkowitymi. Tak więc od teraz możesz już pamiętać, że liczby całkowite to zbiór klas abstrakcji pewnej relacji równoważności w zbiorze par liczb naturalnych. :)

onlyhope69 postów: 20	2014-01-01 22:59:18 Dziękuje za rozwiązanie i wyjasnienie ;) Mam pytanie czy jeśli chcę zmienic klasy abstrakcji zeby liczby naturalne byly bez zera to będzie to wyglądać w ten sposób ? (n,1)={(a,b)$\in$$N^{2}$: a=n+b-1 ; n$\in$N} (1,m)={(a,b)$\in$$N^{2}$:b=m+a-1;m$\in$N} W podpunkcie b) zgubiłam N :b) X=N, nRm $\iff$ a\| \|m-n\| a$\in$N\{1} Spr ze podpunkt b i c to relacje równoważnosci chociaz w b nie jestem pewna co do przechodniości. Jednak nadal mam problem z klasami abstrakcji . :( Jest jakis sposob na wyznaczanie tych klas?:P

tumor postów: 8070	2014-01-01 23:49:41 ładniej będzie $[(n,1)]=\{(a,b)\in N^2:a+1=b+n\}$ dla $n\in N$ $[(1,m)]=\{(a,b)\in N^2:1+b=m+a\}$ dla $m \in N \backslash \{1\} $ Nawiasy nie są bez znaczenia. Jeśli zmienisz sobie trochę, to sens zmieniasz bardzo. $(a,b)$ - para $[(a,b)]$ - klasa abstrakcji wyznaczona przez parę Klasa abstrakcji jest zbiorem par. Przy tym dla jednego n mamy jedną klasę abstrakcji. W Twoim rozwiązaniu n zmienia się dla jednej klasy abstrakcji, co nie jest sensowne. Inna rzecz, że nie ma sensu wymieniać i $n=1$ i $m=1$, bo to ta sama klasa abstrakcji $[(1,1)]$. W przykładzie wyżej też raz wziąłem naturalne z zerem, a raz bez, żeby nie powtórzyć klasy abstrakcji. Jeszcze inna rzecz to użycie znaku $-$. Gdy konstruujemy zbiory liczbowe, definiujemy odpowiednio działania. W zbiorze liczb naturalnych działaniami są dodawanie i mnożenie (wyniki nie wyprowadzają poza ten zbiór). Następnie wprowadza się relację, którą tu rozpatrujemy. Nie ma jeszcze definicji odejmowania, więc się jej nie używa. Dopiero następnie wprowadza się odejmowanie klas abstrakcji jako dodawanie innych klas abstrakcji :P Dlatego o ile zapis jest intuicyjnie zrozumiały, o tyle użycie minusa powoduje brak formalnej poprawności. Z gimnazjum znasz liczby całkowite. Na studiach liczbę naturalną n zapisywać będziemy n. Natomiast to, co znasz jako liczbę całkowitą nieujemną n, formalnie by trzeba zapisać jako $[(n,0)]$ albo równoważnie $[(n+1,1)]$, a liczbę ujemną całkowitą -n jako $[(0,n)]$ lub równoważnie $[(1,n+1)]$

tumor postów: 8070	2014-01-02 00:10:25 Relacja równoważności polega na tym, że dzieli zbiór na niepuste i rozłączne podzbiory (wyznacza podział zbioru). W relacji z c) mamy zbiór par liczb naturalnych. KAŻDA para ma być w DOKŁADNIE JEDNEJ klasie abstrakcji. Więc bierzesz jedną parę liczb naturalnych, ona wyznacza klasę abstrakcji, do której należy sama i do której należą też być może inne pary. I tych par już nie musisz wymieniać, bo nigdzie indziej ich nie będzie. Bierzesz inną parę, niewymienioną wcześniej, ona wyznacza klasę abstrakcji, sama do niej należy. Być może należą też inne pary - odhaczone. I postępujesz w ten sposób aż wyczerpią się pary liczb naturalnych. :) b) $a\in N \backslash \{1\}$ Dwa elementy są w relacji, jeśli ich różnica jest podzielna przez $a$, czyli jeśli mają identyczne reszty z dzielenia przez $a$. Relacja ta jest zwrotna, bo oczywiście $a$ dzieli $\|n-n\|$ Relacja jest symetryczna, bo (oczywiście) jeśli $a$ dzieli $\|n-m\|$ to dzieli też $\|m-n\|$, bo $\|m-n\|=\|n-m\|$ Niech teraz $nRm$ i $mRp$, czyli $a$ dzieli $\|m-n\|$ i $a$ dzieli $\|p-m\|$ skoro tak, to $m=ak+r_m, n=al+r_n, p=aq+r_p$, gdzie $k,l,q$ są całkowite nieujemne, natomiast $r_n, r_m, r_p$ są resztami z dzielenia $n,m,p$ przez $a$. Oczywiście wtedy $r_n=r_m=r_p$, zatem także $a$ dzieli $\|p-n\|$ Klasy abstrakcji to $[b]$ dla $b \in \{1,2,...,a\}$ gdzie oczywiście $[b]=\{n\in N: a\| \|n-b\|\}$ I jeszcze drobna uwaga: $a$ jest stałą. Najpierw powinniśmy ustalić $a$, potem dopiero mówić o relacji. d) - może spróbuj? podobnie do wcześniejszych. Wiadomość była modyfikowana 2014-01-02 00:11:07 przez tumor

onlyhope69 postów: 20	2014-01-02 19:26:05 $[(x,0)]$={(z,w)$\in$$R^{2}$: \|x\|= $\sqrt{z^{2}+w^{2}}$} dla x$\in$R ??? cos niezbyt mi sie widzi ;/

tumor postów: 8070	2014-01-02 20:09:24 czemu nie? Bardzo ładnie. Można to zinterpretować. $x^2+y^2=const$ to okrąg, prawda? Podobnie Twój zapis klasy abstrakcji mówi o wszystkich okręgach o promieniu $\|x\|$, bardzo ładnie. Przy tym $\|x\|=\|-x\|$, dlatego nie potrzeba przebiegać całego zbioru $R$, a wystarczy $[0,\infty)$. Czyli jedna klasa abstrakcji $[(0,0)]$ to okrąg zdegenerowany, punkt, a pozostałe, dla dodatnich $x$, to okręgi o promieniach $x$. Ta interpretacja potwierdza, że zrobiliśmy dobrze, bowiem płaszczyzna jest dobrze podzielona. Każdy punkt leży na jakimś okręgu, każdy tylko na jednym.

onlyhope69 postów: 20	2014-01-03 18:52:48 O no to fajnie :). Dziękuje ślicznie :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj