Teoria mnogości, zadanie nr 1849

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
onlyhope69 postów: 20	2013-12-31 11:31:23 Bardzo proszę o pomoc w takim zadanku Zbadaj, czy relacja R$\subset$ R $[x]^{2}$ jest relacją równoważności, dla relacji równoważności opisz klasy równoważności a) P(x)RQ(x)$\iff$ 2\|deg(P+Q) b) P(x)RQ(x)$\iff$ 2\|deg(P-Q) c) P(x)RQ(x)$\iff$ 2\|deg(P$\cdot$Q) d) P(x)RQ(x)$\iff$ x\|(P(x)-Q(x))

tumor postów: 8070	2014-01-02 14:48:22 Weźmy dwa wielomiany. Będą one w relacji, gdy ich a) suma b) różnica c) iloczyn będzie parzystego stopnia. Zauważamy zatem szybko, że jeśli wielomian $P(x)$ jest stopnia nieparzystego, to także $P(x)+P(x)$ jest stopnia nieparzystego, czyli relacja a) nie jest zwrotna, bo nie jest prawdą, że $P(x)RP(x)$ $P-P \equiv 0$ (tzn funkcja stała równa $0$), wielomian $F(x)=0$ jaki ma stopień? Z pewnych względów zasadne jest określać ten stopień jako $-\infty$. Trudno wówczas określać, czy jest on parzysty czy nie. Zatem i relacja b) nie jest zwrotna. Chyba że ten stopień określacie na zajęciach jakoś inaczej, wtedy to napisz. Gdyby na siłę uznać, że wielomian $F(x)\equiv 0$ był stopnia $0$, to wówczas różnica dwóch wielomianów identycznych będzie stopnia $0$ (parzystego), czyli relacja zwrotna, stopień wielomianów przeciwnych jest równy, czyli będzie symetryczna. Jednakże nie będzie to relacja przechodnia, bo $2\|deg(x^2-2x^2)$ i $2\|deg(2x^2-(x^2+1))$ ale nie jest prawdą, że $2\|deg(x^2-(x^2+1))$ c) Gdybyśmy mówili o wielomianach niezerowych, czyli o skończonym stopniu (albo też określali stopień wielomianu zerowego jako skończony) to ta relacja jest zwrotna, bo wielomian $P(x)*P(x)$ jest stopnia parzystego. Jest symetryczna, bo jeśli $P(x)Q(x)$ jest stopnia parzystego, to i $Q(x)P(x)$ jest stopnia parzystego. Jest przechodnia. Bo jeśli $P(x)Q(x)$ jest stopnia parzystego, to $P$ i $Q$ mają jednocześnie stopień parzysty lub jednocześnie nieparzysty. Podobnie jeśli $Q(x)S(x)$ jest stopnia parzystego, to $Q$ i $S$ są oba parzystego stopnia lub oba nieparzystego. Z założenia, że $P(x)RQ(x)$ i $Q(x)RS(x)$ wynika zatem, że $P$ i $S$ są oba parzystego stopnia lub oba nieparzystego, czyli $P(x)RS(x)$. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji są dwie, to wielomiany stopnia parzystego i wielomiany stopnia nieparzystego. d)czym jest $x$? Czy mam to rozumieć, że dla każdego $x$ całkowitego $x$ ma dzielić wartość różnicy wielomianów dla $x$? Czy dla ustalonego $x$? Od tego zależą klasy abstrakcji, więc ich nie zrobię. Taka relacja jest zwrotna, bo $x \|0=(P(x)-P(x))$ Jest symetryczna, bo jeśli $x \|(P(x)-Q(x))$ to i $x \|(Q(x)-P(x))$ No i jest przechodnia, bo skoro $x \|(P(x)-Q(x))$ oraz $x \|(Q(x)-S(x))$ to także $x \|(P(x)-S(x))=P(x)-Q(x)+Q(x)-S(x)$

onlyhope69 postów: 20	2014-01-03 19:16:38 Mam pytanie do podpunktu b) Jeśli uznamy ze wielomian F(x)$\equiv$0 jest stopnia 0 ( chociaż bardziej jestem za piewsza wersja :) ) to w przechodniosci dlaczego nie jest prawda ze 2\|deg($x^{2}$-($x^{2}$+1)) wtedy stopien bedzie rowny 0 a 2\|0 .Hmm ? podpunkt d) niestety jeszcze niewiem czym jest x :(

tumor postów: 8070	2014-01-03 19:51:01 Przepraszam, pomyłka moja. :) Ma być $x^2+x$, nie $x^2+1$. Żeby był stopnia nieparzystego. Przechodnia istotnie nie jest, tylko się machnąłem przy przykładzie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj