Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 1849
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
onlyhope69 post贸w: 20 |  2013-12-31 11:31:23Bardzo prosz臋 o pomoc w takim zadanku Zbadaj, czy relacja R$\subset$ R $[x]^{2}$ jest relacj膮 r贸wnowa偶no艣ci, dla relacji r贸wnowa偶no艣ci opisz klasy r贸wnowa偶no艣ci a) P(x)RQ(x)$\iff$ 2|deg(P+Q) b) P(x)RQ(x)$\iff$ 2|deg(P-Q) c) P(x)RQ(x)$\iff$ 2|deg(P$\cdot$Q) d) P(x)RQ(x)$\iff$ x|(P(x)-Q(x)) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-01-02 14:48:22 We藕my dwa wielomiany. B臋d膮 one w relacji, gdy ich a) suma b) r贸偶nica c) iloczyn b臋dzie parzystego stopnia. Zauwa偶amy zatem szybko, 偶e je艣li wielomian $P(x)$ jest stopnia nieparzystego, to tak偶e $P(x)+P(x)$ jest stopnia nieparzystego, czyli relacja a) nie jest zwrotna, bo nie jest prawd膮, 偶e $P(x)RP(x)$ $P-P \equiv 0$ (tzn funkcja sta艂a r贸wna $0$), wielomian $F(x)=0$ jaki ma stopie艅? Z pewnych wzgl臋d贸w zasadne jest okre艣la膰 ten stopie艅 jako $-\infty$. Trudno w贸wczas okre艣la膰, czy jest on parzysty czy nie. Zatem i relacja b) nie jest zwrotna. Chyba 偶e ten stopie艅 okre艣lacie na zaj臋ciach jako艣 inaczej, wtedy to napisz. Gdyby na si艂臋 uzna膰, 偶e wielomian $F(x)\equiv 0$ by艂 stopnia $0$, to w贸wczas r贸偶nica dw贸ch wielomian贸w identycznych b臋dzie stopnia $0$ (parzystego), czyli relacja zwrotna, stopie艅 wielomian贸w przeciwnych jest r贸wny, czyli b臋dzie symetryczna. Jednak偶e nie b臋dzie to relacja przechodnia, bo $2|deg(x^2-2x^2)$ i $2|deg(2x^2-(x^2+1))$ ale nie jest prawd膮, 偶e $2|deg(x^2-(x^2+1))$ c) Gdyby艣my m贸wili o wielomianach niezerowych, czyli o sko艅czonym stopniu (albo te偶 okre艣lali stopie艅 wielomianu zerowego jako sko艅czony) to ta relacja jest zwrotna, bo wielomian $P(x)*P(x)$ jest stopnia parzystego. Jest symetryczna, bo je艣li $P(x)Q(x)$ jest stopnia parzystego, to i $Q(x)P(x)$ jest stopnia parzystego. Jest przechodnia. Bo je艣li $P(x)Q(x)$ jest stopnia parzystego, to $P$ i $Q$ maj膮 jednocze艣nie stopie艅 parzysty lub jednocze艣nie nieparzysty. Podobnie je艣li $Q(x)S(x)$ jest stopnia parzystego, to $Q$ i $S$ s膮 oba parzystego stopnia lub oba nieparzystego. Z za艂o偶enia, 偶e $P(x)RQ(x)$ i $Q(x)RS(x)$ wynika zatem, 偶e $P$ i $S$ s膮 oba parzystego stopnia lub oba nieparzystego, czyli $P(x)RS(x)$. Jest to relacja r贸wnowa偶no艣ci. Klasy abstrakcji s膮 dwie, to wielomiany stopnia parzystego i wielomiany stopnia nieparzystego. d)czym jest $x$? Czy mam to rozumie膰, 偶e dla ka偶dego $x$ ca艂kowitego $x$ ma dzieli膰 warto艣膰 r贸偶nicy wielomian贸w dla $x$? Czy dla ustalonego $x$? Od tego zale偶膮 klasy abstrakcji, wi臋c ich nie zrobi臋. Taka relacja jest zwrotna, bo $x |0=(P(x)-P(x))$ Jest symetryczna, bo je艣li $x |(P(x)-Q(x))$ to i $x |(Q(x)-P(x))$ No i jest przechodnia, bo skoro $x |(P(x)-Q(x))$ oraz $x |(Q(x)-S(x))$ to tak偶e $x |(P(x)-S(x))=P(x)-Q(x)+Q(x)-S(x)$ |
onlyhope69 post贸w: 20 | 2014-01-03 19:16:38 Mam pytanie do podpunktu b) Je艣li uznamy ze wielomian F(x)$\equiv$0 jest stopnia 0 ( chocia偶 bardziej jestem za piewsza wersja :) ) to w przechodniosci dlaczego nie jest prawda ze 2|deg($x^{2}$-($x^{2}$+1)) wtedy stopien bedzie rowny 0 a 2|0 .Hmm ? podpunkt d) niestety jeszcze niewiem czym jest x :( |
tumor post贸w: 8070 | 2014-01-03 19:51:01 Przepraszam, pomy艂ka moja. :) Ma by膰 $x^2+x$, nie $x^2+1$. 呕eby by艂 stopnia nieparzystego. Przechodnia istotnie nie jest, tylko si臋 machn膮艂em przy przyk艂adzie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj