Algebra, zadanie nr 1902

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
agusiaczarna22 postów: 106	2014-01-13 23:17:43 Proszę o pomoc, bo nie wiem jak się za to zabrać. Mam poszukać wartości własne dla macierzy: a) 2;1;-2 1;0;0 -2;0;3 Nie wiem jak zapisać to macierzowo więc piszę tak:( Wiadomość była modyfikowana 2014-01-13 23:31:35 przez agusiaczarna22

mat12 postów: 221	2014-01-14 18:07:17 $A= \left[\begin{array}{ccc} 2&1&-2\\ 1&0&0\\ -2&0&3 \end{array} \right]$ $A-\lambda I= \left[\begin{array}{ccc} 2-\lambda&1&-2\\ 1&-\lambda&0\\ -2&0&3-\lambda \end{array} \right]$ $det (A-\lambda I)= (2-\lambda)\cdot(-\lambda)\cdot (3-\lambda)+1 \cdot 0 \cdot (-2)+ (-2)\cdot 1 \cdot 0 -(-2)\cdot (-\lambda) \cdot (-2)- 0 \cdot 0 \cdot (2-\lambda)-(3-\lambda) \cdot 1 \cdot 1=$ $=(-2\lambda+\lambda^2)\cdot (3-\lambda)+4\lambda-(3-\lambda)=-6\lambda+5\lambda^2-\lambda^3+4\lambda -3+\lambda=-\lambda^3+5\lambda^2-\lambda-3=0$ $(\lambda-1)(-\lambda^2+4\lambda+3)=0$ $(\lambda-1)=0$ $\lambda=1$ $-\lambda^2+4\lambda+3=0$ $\Delta=16+12=28$ $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{7}$ $\lambda_{1}=\frac{-4-2\sqrt{7}}{-2}=2+\sqrt{7}$ $\lambda_{2}=\frac{-4+2\sqrt{7}}{-2}=2-\sqrt{7}$ odp. Macierz ma trzy wartości własne $\lambda_{1}=2+\sqrt{7}$ $\lambda_{2}=2-\sqrt{7}$ $\lambda_{3}=1$

agusiaczarna22 postów: 106	2014-01-14 18:25:58 Ślicznie dziękuję i mam jeszcze takie przykłady: b) 0;-1 -1;1 c) 1;3 3;-2 I jak ogólnie się to robi bo tego nie rozumiem:(

mat12 postów: 221	2014-01-15 10:34:49 Obliczanie wartości własnych krok po kroku 1.Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy A. Tylko. 2.Obliczasz macierz ${{A}_{\lambda }}=A-\lambda I$ gdzie $\lambda $ to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a I to macierz jednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera). 3.Liczysz wyznacznik macierzy ${{A}_{\lambda }}.$ 4.Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots . $

mat12 postów: 221	2014-01-15 11:01:43 Zrobię jeden przykład a ty spróbujesz drugi sama zrobić. b) 1. $A=\left[\begin{matrix} 0&-1\\ -1&1 \end{array} \right]$ 2. $A_{\lambda}=A-\lambda I=\left[\begin{matrix} 0&-1\\ -1&1 \end{array} \right]-\lambda \cdot \left[\begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right]= \left[\begin{matrix} 0&-1\\ -1&1 \end{array} \right]-\left[\begin{matrix} \lambda&0\\ 0&\lambda \end{array} \right]= \left[\begin{matrix} -\lambda&-1\\ -1&1-\lambda \end{array} \right]$ 3. det $A_{\lambda}=$ det $\left[\begin{matrix} -\lambda&-1\\ -1&1-\lambda \end{array} \right]=(-\lambda) \cdot (1-\lambda)-((-1)\cdot (-1))= \lambda^2-\lambda-1$ 4. $\lambda^2-\lambda-1=0$ $\Delta= (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)=5$ $\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}$ $\lambda_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\lambda_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ odp. Macierz ma dwie wartości własne $\lambda_{1}$ i $\lambda_{2}$ Wiadomość była modyfikowana 2014-01-15 11:06:11 przez mat12

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj