Algebra, zadanie nr 1906

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzoannam89 postów: 34	2014-01-14 15:16:23 Mam za zadanie znaleźć wektory własne i wartości własne odwzorowania liniowego $f_0$ dla( to znaczy wartości i wektory własne macierzy odpowiadającej $f_0$w bazie standardowej): a)rzutowania prostopadłego$R^2$na prostą x+2y=3 b)rzutowania prostopadłego$R^3$na płaszczyznę x+2y-z=3 c)translacji płaszczyzny$R^2$o wektor a d)symetrii $R^2$o osi symetrii x-y=3 e)obrotu dookoła początku układu współrzędnych o kąt $\frac{ \pi}{3}$ Analizując te przykłady napisz czym charakteryzują się wartości własne: a)rzutowania b)translacji c)symetrii d)obrotu? Proszę o pomoc bo nie wiem o co chodzi:( Wiadomość była modyfikowana 2014-01-14 15:16:47 przez dzoannam89

tumor postów: 8070	2016-07-31 21:44:15 Zadanie to możemy wykonać rachunkowo, to znaczy napisać macierze przekształceń i po prostu liczyć. Możemy też się zastanowić, co to takiego wektor własny. Otóż przekształcenie liniowe może zmieniać kierunki wektorów. Zauważmy jednak, że np. skalowanie nie zmienia kierunku żadnego wektora, symetria płaszczyznowa niektórym zmienia, innym nie, ale zachowuje długość każdego wektora, a rzutowanie na prostą może zmieniać kierunek i długość wektora. Wektorem własnym danego przekształcenia nazywamy niezerowy wektor, którego kierunek w tym przekształceniu się nie zmieni. Wartością własną odpowiadającą wektorowi własnemu x przekształcenia o macierzy A jest taka liczba a, że Ax=ax. a) Rzutowanie prostopadłe na prostą nie zmienia kierunków wektorów położonych na prostej, nie zmienia też ich długości i zwrotu, czyli Ax=x, wobec czego a=1. Dla wektorów prostopadłych do prostej otrzymamy Ax=0, wobec czego a=0. Pozostałe wektory zmienią kierunek. b) Jak wcześniej, wektory na płaszczyźnie nie zmienią się, prostopadłe wyzerują, a pozostałe zmienią kierunek. c) Mamy zasadniczo przekształcenie afiniczne. Możemy robić wektory własne dla macierzy rozszerzonej przekształcenia d) Wektory na osi symetrii zachowane bez zmian. Wektory prostopadłe z zachowaną długością ale przeciwnym zwrotem, czyli a=-1 e) Wszystkie wektory o niezerowej długości zmienią kierunek (w $R^2$) Przy tym wypada zwrócić uwagę, czy mówimy o przekształceniach w przestrzeni liniowej czy afinicznej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj