Topologia, zadanie nr 1918

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
misia12345 postów: 16	2014-01-15 15:41:02 Udowodnić, że iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych ośrodkowych jest przestrzenią metryczną ośrodkową.

tumor postów: 8070	2016-07-31 21:38:36 Wprowadźmy w iloczynie kartezjańskim $X\times Y$ funkcję dwuargumentową $f((a,b),(x,y))=d_1(a,x)+d_2(b,y)$, gdzie $d_1$ jest metryką w X, $d_2$ metryką w Y. Sprawdzenie, że funkcja ta jest metryką, nie nastręcza żadnych trudności rachunkowych czy innych. Pozostaje sprawdzić, że uzyskana przestrzeń metryczna jest ośrodkowa. Niech $D_1$ będzie ośrodkiem w X, $D_2$ ośrodkiem w Y. Niech $K_3((a,b),r)$ będzie kulą otwartą w iloczynie kartezjańskim, inaczej jest to $\{(x,y): d_1(a,x)+d_2(b,y)<r\}$. Zauważmy, że podzbiorem tej kuli jest $K_1(a,\frac{r}{2})\times K_2(b,\frac{r}{2})$, gdzie $K_1$ oznacza kulę w X, K_2 kulę w Y. Skoro X,Y ośrodkowe, to w istnieją elementy ośrodka $z_1\in D_1\cap K_1, z_2\in D_2$, dla których $(z_1,z_2)\in K_3$, wobec czego możemy przyjąć za ośrodek w iloczynie kartezjańskim zbiór $D_3=D_1\times D_2$, przeliczalny jako iloczyn kartezjański zbiorów przeliczalnych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj