logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1980

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rambo
postów: 19
2014-01-27 23:13:55

1. $\int\frac{x^3+7x-6}{(x^2+9)(x-3)}dx=$
2. $\int\frac{x^2+7x-6}{(x^2+9)(x-3)}dx=$
3. $\int\frac{sinxdx}{sin^2x + 6cos^2x}=$
4. $\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}dx=$


xtopeczkax
postów: 69
2014-01-28 23:04:35

1. $\int(\frac{2x}{3(x^2+9)}+\frac{7}{3(x-3)}+1)dx=
\frac{2}{3}\int\frac{x}{x^2+9}dx+\int 1dx+\frac{7}{3}\int\frac{1}{x-3}dx=podstawienie ,\ u=x^2+9 ,\ du=2xdx ,/=\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du+\int 1dx+\frac{7}{3}\int\frac{1}{x-3}dx=podst. \ s=x-3 \ ds=dx=\frac{7}{3}\int\frac{1}{s}ds+\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du+\int 1dx=\frac{7log(s)}{3}+\frac{log(u)}{3}+x+C=\frac{log(u)}{3}+x+\frac{7}{3}log(x-3)+C=\frac{1}{3}log(x^2+9)+x+\frac{7}{3}log(x-3)+C$


xtopeczkax
postów: 69
2014-01-30 13:40:15

4.
$u=\frac{x+1}{x-1}$
$du=(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{(x-1)^2})$
$=-2\int\frac{\sqrt{u}}{(-u-1)(1-u)}du=$
$s=\sqrt{u}$
$ds=\frac{1}{2\sqrt{u}}$
$=-4\int\frac{s^2}{(s^2-1)(s^2+1)}ds=$
$=-2\int\frac{1}{s^2+1}ds-\int\frac{1}{s-1}ds+\int\frac{1}{s+1}ds=$
$=-2tan^{-1}s-\int\frac{1}{s-1}ds+\int\frac{1}{s+1}ds=$
$p=s-1$
$dp=ds$
$=-\int\frac1pdp-2tan^{-1}s+\int\frac{1}{s+1}ds=$
$-logp-2tan^{-1}s+\int\frac{1}{s+1}ds=$
$w=s+1$
$dw=ds$
$=-logp-2tan^{-1}s+\int\frac1wds=$
$=-logp-2tan^{-1}s+logw+C=$
$=-logp+log(s+1)-2tan^{-1}s+C=$
$=-log(s-1)+log(s+1)-2tan^{-1}s+C=$
$=log(\sqrt{u}-1)+log(\sqrt{u}+1)-2tan^{-1}(\sqrt{u})+C=$
$=-log(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1)+log(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+1)-2tan^{-1}(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})+C=$
$=2(coth^{-1}(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})-tan^{-1}(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}))+C=$
$=2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}(tan^{-1}(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}})+sinh^{-1}(\sqrt{\frac{x-1}{2}}))+C$


tumor
postów: 8070
2014-05-14 14:05:19

2.

Rozkładamy na ułamki proste

$=\int \frac{-\frac{1}{3}x+6}{x^2+9}dx+\int\frac{\frac{4}{3}}{x-3}dx$

$\int\frac{\frac{4}{3}}{x-3}dx$ jest łatwa.

Następnie rozbijamy
$\int \frac{-\frac{1}{3}x+6}{x^2+9}dx=-\frac{1}{6}\int \frac{2xdx}{x^2+9}+\int \frac{6}{x^2+9}dx$

Tę ostatnią całkę sprowadzamy do $arctg$ przez myk i podstawienie

$\int \frac{6}{x^2+9}dx=\frac{6}{3}\int \frac{\frac{1}{3}}{(\frac{x}{3})^2+1}dx$ i podstawiamy
$\frac{x}{3}=t$


tumor
postów: 8070
2014-05-14 14:19:38

3.

$\frac{sinx}{sin^2x+6cos^2x}=\frac{sinx}{1+5cos^2x}$

podstawiamy $cosx=t$
$-sinxdx=dt$

$\int \frac{-dt}{5t^2+1}$

podobnie jak wyżej upodabniamy przykład do pochodnej z arctg.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj