Algebra, zadanie nr 1981

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
davidd postów: 5	2014-01-27 23:35:54 3. Obliczyć. $ z ^{3} - i =0 $ $ z = \sqrt[3]{i} \sqrt[3]{i} = w \Leftrightarrow w ^{3} = i $ więc $ \left\| w\right\| ^{3} (cos (3\psi) + isin(3\psi ) = \left\| i\right\| (cos \alpha + isin \alpha ) \left\| w\right\| ^{3} = i \left\| w\right\| = \sqrt[3]{i} \psi = \frac{ \alpha + 2k \pi }{3} $ No nie wiem co wstawić za kąt alfa. Co więcej, czy to co napisałem ma sens?

tumor postów: 8070	2014-01-28 10:47:32 Literka $w$ jest zbędna, to ta sama liczba co $z$. Natomiast rzeczywiście $z^3=i$ $z=\sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{\|i\|}(cos\alpha+isin\alpha)$ gdzie $\alpha=\frac{arg(i)}{3}+\frac{2k\pi}{3}$, dla $k=0,1,2$ --- O co chodzi. Jeśli masz liczbę zespoloną $w=a+bi=\|w\|(cos\alpha+isin\alpha)$, to jej trzecia potęga ma długość $\|w\|^3$, natomiast kąt (czyli $arg(w)=\alpha$ mnożymy przez $3$). Pierwiastkujemy odwrotnie. Długość trzeciego pierwiastka będzie równa $\sqrt[3]{\|w\|}$, a kąt będzie trzykrotnie mniejszy niż $arg(w)$. Jednakże pierwiastki trzeciego stopnia są trzy. Sąsiednie różnią się o kąt $\frac{360^\circ}{3}$. Zauważ bowiem, że gdy weźmiemy takie pierwiastki do trzeciej potęgi, czyli pomnożymy przez $3$ ich kąty, to będą się różnić o wielokrotność $360^\circ$, czyli można je utożsamić. Stąd wzór. --- Zakładam, że umiesz podać $\|i\|$ oraz $arg(i)$. :)

davidd postów: 5	2014-01-28 22:50:41 właśnie z tym problem. Wydaje się, że wszystko dobrze podstawiłem i mam $psi = \frac{\alpha+2k\pi}{3}$ Aby teraz wyliczać $z$ potrzebna mi jest wartość kąta $\alpha$, a nie wiem właśnie jak ją określić/znaleźć...

tumor postów: 8070	2014-01-29 20:51:20 :) Grunt to umieć czytać ze zrozumieniem. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj