Topologia, zadanie nr 1982

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia93 postów: 65	2014-01-28 08:42:39 Udowodnić , że funkcja f(x)=x^2-3 dla x nalezy do R jest funkcją ciągłą ,ale nie jednostajnie ciągłą w p.metrycznej (R,de) z metryka euklidesowa

tumor postów: 8070	2014-01-28 10:29:30 $ f(x)=x^2-3$ Jest ciągła, bo przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty. Wystarczy pokazać, że przeciwobraz przedziału otwartego może być tylko zbiorem pustym, przedziałem otwartym albo sumą dwóch przedziałów otwartych. Czyli bierzesz przedział $(a,b)$ (gdzie $a<b$, przy tym $a$ może być $-\infty$, a $b$ może być $+\infty$) i wyznaczasz jego przeciwobraz zależnie od tego jakie są $a$ i $b$. Natomiast warunek jednostajnej ciągłości mówi, że $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0} \forall_{x_1,x_2} \|x_1-x_2\|<\delta \Rightarrow \|f(x_1)-f(x_2)\|<\epsilon$ Ustalmy $\epsilon>0$. Przyjmijmy, że $0<x_1<x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ (gdzie nic o $\delta$ nie wiemy poza tym, że $\delta>0$). Wówczas $x_2^2-x_1^2=(x_1+\frac{\delta}{2})^2-x_1^2=x_1\delta+\frac{\delta^2}{4}$. Zauważmy, że ta wielkość zależy od $x_1$. Jak byśmy nie wybrali liczby $\delta$, znajdziemy $x_1$ takie, że $x_1\delta+\frac{\delta^2}{4}>\epsilon$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj