Inne, zadanie nr 1985

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
xtopeczkax postów: 69	2014-01-28 21:17:13 Niech $K$ oznacza zbiór wszystkich sum skończonych lewostronnie otwartych przedziałów $I\subset R$(ograniczonych lub nieograniczonych). Uzasadnij, że: $a) K$ jest ciałem, ale nie jest $\sigma$-ciałem w $R$; $b) \sigma(K)=B(R) (\sigma$-ciało zbiorów borelowskich w$R)$.

tumor postów: 8070	2014-02-22 08:03:44 a) wystarczy zauważyć, że suma dwóch zbiorów z $K$ należy do $K $ oraz dopełnienie zbioru z $K$ należy do $K$. Natomiast $\sigma$-ciałem nie jest, bo w toku przeliczalnie (nieskończenie) wielu sumowań lewostronnie otwartych przedziałów (należących do K) otrzymamy zbiór $A=\bigcup_{n\in N} (n,n+\frac{1}{2}]$, który nie należy do $K$.

tumor postów: 8070	2014-02-22 08:22:10 b) inkluzja $\sigma (K)\subset B(R)$ jest oczywista na mocy definicji $\sigma$-ciała generowanego przez rodzinę (jako przekroju wszystkich $\sigma$-ciał zawierających tę rodzinę). Inkluzji w drugą stronę dowodzimy pokazując, że zbiory otwarte da się otrzymać w ramach przeliczalnych działań ze zbiorów należących do $K$. Jako że $R$ z naturalną topologią ma bazę przeliczalną, wystarczy pokazać, że otrzymamy przedziały otwarte o końcach wymiernych, które tę bazę tworzą. Niech $a,b$ będą wymierne, $a<b$, wówczas $(a,b)=\bigcup_{n\in N}(a,b-\frac{b-a}{n+1}]$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj