Inne, zadanie nr 1986
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| trolololo postów: 6 |  2014-01-28 21:32:26Hej,czy ktoś mógłby pomóc z tym zadaniem:Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a ) f(x,y)3x^2+6y^2+3x-36y b) f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4 c)f(x,y)=3x^2+y^2-x^3y d)f(x,y)=-2x^2-4xy^2+24xy |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-22 09:11:37 a) liczymy pochodne cząstkowe $\frac{df}{dx}=6x+3$ $\frac{df}{dy}=12y-36$ $\frac{d^2f}{dx^2}=6$ $\frac{d^2f}{dy^2}=12$ $\frac{d^2f}{dxdy}=0$ Pierwsze pochodne zerują się tylko dla pary $(-2,3)$ Macierz drugich pochodnych ma wówczas wyznacznik $\left|\begin{matrix} 6&0 \\ 0&12 \end{matrix}\right|>0$ Co oznacza ekstremum, a skoro $\frac{d^2f}{dx^2}(-2,3)>0$ to mamy tam minimum. |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-22 09:13:56 b) liczymy pochodne cząstkowe $\frac{df}{dx}=-24x^2-24y$ $\frac{df}{dy}=3y^2-24x$ rozwiązujemy układ równań $\left\{\begin{matrix} x^2+y=0 \\ y^2-8x=0 \end{matrix}\right.$ co jest nieco uproszczoną wersją przyrównania obu pochodnych do zera. Otrzymujemy $x^4-8x=0$ co daje rozwiązania $(0,0)$ i $(2,-4)$ $\frac{d^2f}{dx^2}=-48x$ $\frac{d^2f}{dy^2}=6y$ $\frac{d^2f}{dxdy}=-24$ $\left|\begin{matrix} -48*0&-24 \\ -24&6*0 \end{matrix}\right|<0$ czyli nie ma ekstremum w $(0,0)$ $\left|\begin{matrix} -48*(2)&-24 \\ -24&6*(-4) \end{matrix}\right|>0$ czyli mamy tam ekstremum (a nawet maksimum z uwagi na znak $\frac{d^2f}{dx^2}(2,-4)$) |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-22 09:19:22 c) liczymy pochodne cząstkowe $\frac{df}{dx}=6x-3x^2y$ $\frac{df}{dy}=2y-x^3$ układ równań $\left\{\begin{matrix} 2x=x^2y \\ 2y=x^3 \end{matrix}\right.$ stąd: $4x=x^5$ co daje rozwiązania $(0,0)$, $(\sqrt{2},\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$, $\frac{d^2f}{dx^2}=6-6xy$ $\frac{d^2f}{dy^2}=2$ $\frac{d^2f}{dxdy}=-3x^2$ liczymy wyznacznik $\left|\begin{matrix} 6-6xy&2 \\ 2&-3x^2 \end{matrix}\right|$ dla każdego z rozwiązań. Jeśli wychodzi dodatni, to ekstremum jest. Jeśli ujemny, to nie ma. Gdyby się zerował, to nie wiadomo, ale tu się nie zeruje. |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-22 09:23:25 d) liczymy pochodne cząstkowe $\frac{df}{dx}=-4x-4y^2+24y$ $\frac{df}{dy}=-8xy+24x$ $\left\{\begin{matrix} -4x-4y^2+24y=0 \\ -8xy+24x=0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} -y^2+6y=x \\ x(3-y)=0 \end{matrix}\right.$ $y(6-y)(3-y)=0$ $(0,0), (9,3), (0,6)$ $\frac{d^2f}{dx^2}=-4$ $\frac{d^2f}{dy^2}=-8x$ $\frac{d^2f}{dxdy}=-8y+24$ $\left|\begin{matrix} -4&-8y+24 \\ -8y+24&-8x \end{matrix}\right|$ zależnie od znaku wyznacznika ekstremum jest lub nie. Jeśli jest, to zależnie od znaku $\frac{d^2f}{dx^2}(x_0,y_0)$ jest to minimum lub maksimum. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj