Inne, zadanie nr 1993

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
xtopeczkax postów: 69	2014-01-28 22:07:41 Pokazać przykład takich $\sigma$-ciał aby rodzina $R=R_1\cup R_2$ była $\sigma$-ciałem w $X=R$.

tumor postów: 8070	2014-06-05 17:31:54 Przypuśćmy że $R_1 \not\subset R_2 $ oraz $R_2 \not\subset R_1 $. Wówczas niech $A\in R_1\backslash R_2$, $B\in R_2\backslash R_1$. Niech $A\cap B \in R_1$. Wówczas $A\cap B`=A\backslash (A\cap B) \in R_1$. $A`\cap B\notin R_1$, bo wtedy $B\in R_1$, podobnie $A`\cap B`\notin R_1$. $(A\cap B) \cup (A`\cap B`) \notin R_1$, bo wtedy $(A\cap B) \cup (A`\cap B`)\cap A`\in R_1$. Analogicznie $(A\cap B) \cup (A`\cap B`) \notin R_2$. Zatem jedno $\sigma$-ciało musi być podzbiorem drugiego. Przykłady. Jeśli $A,B$ będą niepuste, krzyżujące się i nie sumują się do $X$. Wtedy $\{\emptyset, X, A, B, A`, B`, A\cap B, A\cap B`, A`\cap B, A`\cap B`, (A\cap B)\cup (A`\cap B`), (A\cap B`)\cup (A`\cap B), (A\cap B)`, (A\cap B`)`, (A`\cap B)`, (A`\cap B`)`\}$ oraz $\{\emptyset, X, A, A`\}$ to dwa $\sigma$-ciała, z których jedno jest podzbiorem drugiego, więc ich suma jest $\sigma$-ciałem. Można na przykład X-rzeczywiste, A-dodatnie, B-wymierne.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj