Inne, zadanie nr 2006
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
xtopeczkax postów: 69 | 2014-01-29 09:08:51 Dla dowolnego zbioru $A\subset N$ połóżmy $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A=\emptyset \\ 1, \ \ gdy \ A\neq\emptyset \ i \ A\neq N \\ 2, \ \ gdy \ A=N \end{matrix}\right.$ a) pokazać, że $mi$ jest miarą zewnętrzną b) wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego |
tumor postów: 8070 | 2014-06-05 19:40:57 nie chce mi się znów pisać $mi^*$, skrócę do $m$. :) $m(\emptyset)=0$ Jeśli $A\subset B$ to $m(A)\le m(B)$. Jeśli $A_n,n\in N$ jest ciągiem zbiorów, to $m(\bigcup A_n)\le \sum m(A_n)$. Bowiem jeśli lewa strona jest $1$, to któryś ze zbiorów $A_n$ jest niepusty, czyli prawa strona jest nie mniejsza niż $1$. Jeśli lewa strona jest $2$, to albo któryś $A_n$ jest równy $N$ (wówczas prawa jest nie mniejsza niż $2$), albo co najmniej 2 zbiory $A_i, A_j$ są niepuste (i wówczas prawa strona jest nie mniejsza niż $2$). Szukamy zbiorów $Y$, które dla każdego $A$ spełniają $m(A)=m(A\cap Y)+(A\cap Y`)$. $\emptyset$ i $N$ spełniają warunek. Jeśli $Y$ niepusty i różny od $N$, to niech $x\notin Y, y\in Y$, niech $A=\{x,y\}$ Wtedy $m(A)=1\neq 2=m(A\cap Y)+m(A\cap Y`)$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj