logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 2006

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

xtopeczkax
postów: 69
2014-01-29 09:08:51

Dla dowolnego zbioru $A\subset N$ połóżmy $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A=\emptyset \\ 1, \ \ gdy \ A\neq\emptyset \ i \ A\neq N \\ 2, \ \ gdy \ A=N \end{matrix}\right.$
a) pokazać, że $mi$ jest miarą zewnętrzną
b) wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego


tumor
postów: 8070
2014-06-05 19:40:57

nie chce mi się znów pisać $mi^*$, skrócę do $m$. :)

$m(\emptyset)=0$

Jeśli $A\subset B$ to $m(A)\le m(B)$.

Jeśli $A_n,n\in N$ jest ciągiem zbiorów, to
$m(\bigcup A_n)\le \sum m(A_n)$.

Bowiem jeśli lewa strona jest $1$, to któryś ze zbiorów $A_n$ jest niepusty, czyli prawa strona jest nie mniejsza niż $1$.
Jeśli lewa strona jest $2$, to albo któryś $A_n$ jest równy $N$ (wówczas prawa jest nie mniejsza niż $2$), albo co najmniej 2 zbiory $A_i, A_j$ są niepuste (i wówczas prawa strona jest nie mniejsza niż $2$).

Szukamy zbiorów $Y$, które dla każdego $A$ spełniają
$m(A)=m(A\cap Y)+(A\cap Y`)$.

$\emptyset$ i $N$ spełniają warunek.
Jeśli $Y$ niepusty i różny od $N$, to niech $x\notin Y, y\in Y$, niech $A=\{x,y\}$
Wtedy
$m(A)=1\neq 2=m(A\cap Y)+m(A\cap Y`)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj