logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 2007

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

xtopeczkax
postów: 69
2014-01-29 09:12:13

Niech $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ przeliczalnym \\ 1, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ nieprzeliczalnym \end{matrix}\right.$.
Wykazać, że $mi^*$ jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego


tumor
postów: 8070
2014-06-05 19:32:56

$ mi^*(\emptyset)=0$

$A\subset B \Rightarrow mi^*(A)\le mi^*(B)$

Dla ciągu zbiorów $A_n, n\in N$ mamy
$mi^*(\bigcup A_n)\le \sum mi^*(A_n)$
bo jeśli lewa strona nie jest $0$, to jest $1$, wówczas co najmniej jeden $A_n$ jest nieprzeliczalny, czyli prawa strona jest nie mniejsza niż $1$.

Szukamy zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego, czyli takich $Y$, że dla każdego $A$ mamy
$mi^*(A)=mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)$

Oczywiście $\emptyset$ i $X$ spełniają warunek.
Jeśli $X$ jest przeliczalny, to wszystkie jego podzbiory będą ten warunek spełniać, będzie zawsze $0=0$. Przyjmijmy więc, że $X$ nieprzeliczalny.

Jeśli $Y$ jest przeliczalny, jego dopełnienie jest nieprzeliczalne. Wówczas dla $A$ przeliczalnych jest $mi^*(A)=0=0+0=mi^*(A\cap Y)+(A\cap Y`)$, natomiast dla $A$ nieprzeliczalnych jest $mi^*(A)=1=0+1=(A\cap Y)+(A\cap Y`)$.

Jeśli $Y$ jest nieprzeliczalny, a jego dopełnienie jest przeliczalne, to sytuacja jest analogiczna, zamieniamy tylko rolami $Y$ i $Y`$.

Ostatnia możliwość, to że $Y$ i $Y`$ są oba nieprzeliczalne. Wówczas biorąc $A=X$ dostajemy
$mi^*(A)=1\neq 2=1+1=mi^*(Y)+mi^*(Y`)$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj