Inne, zadanie nr 2007
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
xtopeczkax postów: 69 | 2014-01-29 09:12:13 Niech $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ przeliczalnym \\ 1, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ nieprzeliczalnym \end{matrix}\right.$. Wykazać, że $mi^*$ jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego |
tumor postów: 8070 | 2014-06-05 19:32:56 $ mi^*(\emptyset)=0$ $A\subset B \Rightarrow mi^*(A)\le mi^*(B)$ Dla ciągu zbiorów $A_n, n\in N$ mamy $mi^*(\bigcup A_n)\le \sum mi^*(A_n)$ bo jeśli lewa strona nie jest $0$, to jest $1$, wówczas co najmniej jeden $A_n$ jest nieprzeliczalny, czyli prawa strona jest nie mniejsza niż $1$. Szukamy zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego, czyli takich $Y$, że dla każdego $A$ mamy $mi^*(A)=mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)$ Oczywiście $\emptyset$ i $X$ spełniają warunek. Jeśli $X$ jest przeliczalny, to wszystkie jego podzbiory będą ten warunek spełniać, będzie zawsze $0=0$. Przyjmijmy więc, że $X$ nieprzeliczalny. Jeśli $Y$ jest przeliczalny, jego dopełnienie jest nieprzeliczalne. Wówczas dla $A$ przeliczalnych jest $mi^*(A)=0=0+0=mi^*(A\cap Y)+(A\cap Y`)$, natomiast dla $A$ nieprzeliczalnych jest $mi^*(A)=1=0+1=(A\cap Y)+(A\cap Y`)$. Jeśli $Y$ jest nieprzeliczalny, a jego dopełnienie jest przeliczalne, to sytuacja jest analogiczna, zamieniamy tylko rolami $Y$ i $Y`$. Ostatnia możliwość, to że $Y$ i $Y`$ są oba nieprzeliczalne. Wówczas biorąc $A=X$ dostajemy $mi^*(A)=1\neq 2=1+1=mi^*(Y)+mi^*(Y`)$. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj