Inne, zadanie nr 2010
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| xtopeczkax postów: 69 |  2014-01-29 09:26:37Wykazać, że jeżeli $A,B$ są atomami miary $mi$ to $B/A$ też jest atomem miary $mi$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-06-05 19:59:17 miara $A$ i miara $B$ są dodatnie, natomiast każdy mierzalny podzbiór $A$ ma miarę zero lub $mi(A)$, każdy mierzalny podzbiór zbioru $B$ ma miarę $0$ lub miarę $mi(B)$. Jeśli $A=B$ to trochę naciągamy, bo $B\backslash A=\emptyset$ i atomem nie jest. Jeśli $A,B$ rozłączne, to sprawa oczywista. Załóżmy, że $A,B$ nie są rozłączne ani równe. Wtedy $A\cap B$ jest mierzalny. Jeśli jest miary dodatniej mniejszej niż $m(A)$ lub mniejszej niż $m(B)$ to $A$ lub $B$ nie jest atomem, czyli albo $A\cap B$ jest miary zero (wówczas $B\backslash A$ jest atomem, skoro $B$ nim jest), albo też $mi(A)=mi(B)=mi(A\cap B)$, czyli zbiory $A$ i $B$ różnią się o zbiór miary zero. Wówczas $B\backslash A$ jest miary zero i nie jest atomem. Tak więc niezupełnie udowadniamy to, co należy. Chyba że stosowaliśmy inną definicję atomu niż "atom to zbiór mierzalny $A$ miary dodatniej $mi(A)$, którego żaden mierzalny podzbiór nie ma miary dodatniej mniejszej niż $A$". Można na przykład uznać, że "atom to zbiór mierzalny, który nie jest sumą dwóch zbiorów mierzalnych rozłącznych miary dodatniej", wówczas zbiory miary zero będą się wliczać. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj