Inne, zadanie nr 2026
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| xtopeczkax postów: 69 |  2014-01-29 23:21:47Niech $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} \frac{N(A)}{1+N(A)}, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ skończonym \\ 1, \ \ gdy \ A \ jest \ zbiorem \ nieskończonym \end{matrix}\right.$. Wykazać, że $mi^*$ jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego. |
| tumor postów: 8070 | 2014-06-05 16:03:22 $ mi^*(\emptyset)=0$ jeśli $A\subset B$, to $mi^*(A)\le mi^*(B)$ jeśli $A_1, A_2,...\subset R$, to $mi^*(\bigcup A_n)\le \sum mi^*(A_n)$ (sumy są równe, jeśli wszystkie $A_n$ są puste lub jeśli niepusty jest jeden zbiór $A_n$. Jeśli co najmniej dwa różne $A_i, A_j$ są niepuste, to po lewej stronie nierówności mamy wyrażenie nie większe od $1$, po prawej nie mniejsze niż $1$). ---- Szukamy zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego, czyli takich zbiorów $Y$, że $mi^*(A)=mi^*(A\cap Y)+mi^*(A \cap Y`)$ dla wszystkich $A\subset R$. Oczywiście spełniają te warunki zbiór pusty i cała przestrzeń. Jeśli $Y$ jest skończony niepusty (niech jest $n-1$-elementowy) i $x\notin Y$, to weźmy $A=Y\cup \{x\}$, wówczas $mi^*(A)=\frac{n}{n+1}<1$ Natomiast $mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)\ge 1$. Czyli takie $Y$ nie spełniają warunku. Jeśli $Y$ jest nieskończony, $y\in Y$, ale istnieje $x\notin Y$, to niech $A=\{x,y\}$, wtedy $mi^*(A)=\frac{2}{3}$ $mi^*(A\cap Y)+mi^*(A\cap Y`)=1$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj