Inne, zadanie nr 2027
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| xtopeczkax postów: 69 |  2014-01-29 23:26:52Dla dowolnego zbioru $A\subset N$ $mi^*(A)=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ gdy \ A=\emptyset \\ 1, \ \ gdy \ A\neq\emptyset \ i \ A-nieskończony \\ +\infty, \ \ gdy \ A-nieskończony \end{matrix}\right.$. Czy $mi^*$ jest miarą zewnętrzną, jeśli tak to wyznaczyć rodzinę wszystkich zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory'ego |
| tumor postów: 8070 | 2014-05-18 08:36:21 W poleceniu na pewno jest błąd, prawdopodobnie w środkowym wierszu ma być "A niepusty i skończony" Wówczas $mi^*(\emptyset)=0$ Jeśli $A\subset B\subset N$, to $mi^*(A)\le mi^*(B)$ oraz $mi^*(\bigcup A_n) \le \sum mi^*(A_n)$ bowiem: a) jeśli wszystkie $A_n$ puste, to suma pusta i po obu stronach mamy $0$ b) jeśli $\bigcup A_n$ niepusta skończona, to po lewej mamy $1$, po prawej co najmniej $1$ (bo co najmniej jeden zbiór $A_i$ był niepusty skończony) c) jeśli $\bigcup A_n$ nieskończona, to istnieje $A_i$ nieskończony lub niepustych zbiorów w ciągu $A_n$ jest nieskończenie wiele, w obu przypadkach prawa strona równa jest $\infty$. Zatem $mi^*$ jest miarą zewnętrzną. Zastanówmy się teraz, jakie zbiory $A$ spełniają warunek $\forall_B mi^*(B)=mi^*(A\cap B)+mi^*(A`\cap B)$. W oczywisty sposób warunek jest spełniony dla zbioru pustego i dla $N$. Jeśli $A$ nie jest zbiorem pustym i nie jest równy $N$, to weźmy $B=\{a,b\}$ gdzie $a\in A, b\notin A$. Wówczas $mi^*(B)=1$, natomiast $mi^*(A\cap B)+mi^*(A`\cap B)=1+1=2\neq mi^*(B)$. Tylko dwa zbiory są mierzalne w sensie Caratheodory'ego. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj