Inne, zadanie nr 2028
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xtopeczkax post贸w: 69 |  2014-01-29 23:35:37Pokaza膰, 偶e a) ka偶dy przedzia艂 domkni臋ty, lewostronnie domkni臋ty, prawostronnie domkni臋ty, otwarty w $R$ jest zar贸wno typu $G_\sigma$ jak i typu $F_\sigma$ b) suma dw贸ch zbior贸w $G_\sigma$ jest zbiorem typu $G_\sigma$, a iloczyn dw贸ch zbior贸w typu $F_\sigma$ jest zbiorem $F_\sigma$ c) Zbi贸r wszystkich liczb wymiernych jest zbiorem typu $F_\sigma$, a wszystkich liczb niewymiernych jest zbiorem typu $G_\sigma$ d) istniej膮 zbiory kt贸re nie s膮 ani $G_\sigma$ ani typu $F_\sigma$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-21 07:58:43 a) 偶e s膮 $G_\delta$ $[a,b]=\bigcap (a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n})$ $(-\infty,b]=\bigcap (-\infty,b+\frac{1}{n})$ $[a,\infty)=\bigcap (a-\frac{1}{n},\infty)$ $(a,b]=\bigcap (a,b+\frac{1}{n})$ $[a,b)=\bigcap (a-\frac{1}{n},b)$ $(a,b)=\bigcap (a,b)$ (tu $a,b$ mog膮 si臋 r贸wna膰 odpowiednio $-\infty,+\infty$) Analogicznie dla $F_\sigma$ $[a,b]=\bigcup [a,b]$ $(a,b)=\bigcup[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}] $(sumujemy pocz膮wszy od takiego $n$, 偶e prawy koniec przedzia艂u jest wi臋kszy ni偶 lewy koniec) i tak dalej, analogicznie. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-21 08:08:44 b) Niech $A=\bigcap A_n$ i $B=\bigcap B_m$ dla $n,m\in M$ b臋d膮 $G_\delta$, natomiast $A_i,B_i$ otwarte. Dla ka偶dego $i,j\in N$ tak偶e $A_i \cup B_j$ jest otwarty. Zauwa偶my, 偶e $L=\bigcap_{n\in N}A_n\cup \bigcap_{m\in N}B_m= \bigcap_{n,m\in N}(A_n \cup B_m)=P$ Je艣li bowiem $x\in L$ to $x$ nale偶y do wszystkich $A_n$ lub do wszystkich $B_n$, w贸wczas nale偶y do wszystkich $A_n\cup B_n$. Je艣li natomiast $x\notin L$, to istniej膮 $n_0,m_0$, 偶e $x\notin (A_{n_0}\cup B_{m_0})$, czyli $x\notin P$. --- Drug膮 cz臋艣膰 podpunktu mo偶emy dowodzi膰 analogicznie, mo偶emy te偶 skorzysta膰 po prostu z praw de Morgana i w艂asno艣ci, 偶e dope艂nienie zbioru $G_\delta$ jest typu $F_\sigma$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-21 08:11:03 c) Zbiory jednopunktowe s膮 domkni臋te (bo $R\backslash \{x_0\}$ s膮 otwarte jako suma dw贸ch przedzia艂贸w otwartych). $Q$ to suma przeliczalnie wielu zbior贸w jednopunktowych. Natomiast $R \backslash Q$ to dope艂nienie zbioru $F_\sigma$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-21 08:51:14 d) Najlepiej b臋dzie poda膰 zbi贸r, kt贸ry nie jest, a potem jeszcze udowodni膰, 偶e nie jest. We藕my $A=Q^+ \cup \{0\} \cup (R^- \backslash Q^-)$ Gdyby $A$ by艂 typu $G_\delta$, to $A\cap [0,\infty)=Q^+\cup \{0\}$ by艂by typu $G_\delta$, Gdyby $A$ by艂 typu $F_\sigma$, to $A\cap R^-$ by艂by typu $F_\sigma$, zatem $Q^-\cap [0,\infty)$ by艂by $G_\delta$, czyli i $Q^-$ by艂by $G_\delta$. W konsekwencji $Q$ by艂by $G_\delta$. Wystarczy zatem pokaza膰, 偶e $Q$ nie jest $G_\delta$ lub analogicznie, 偶e $R \backslash Q$ nie jest $F_\sigma$. A to zrobi艂em tu: http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,1609,0 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj