Inne, zadanie nr 2028

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
xtopeczkax postów: 69	2014-01-29 23:35:37 Pokazać, że a) każdy przedział domknięty, lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty, otwarty w $R$ jest zarówno typu $G_\sigma$ jak i typu $F_\sigma$ b) suma dwóch zbiorów $G_\sigma$ jest zbiorem typu $G_\sigma$, a iloczyn dwóch zbiorów typu $F_\sigma$ jest zbiorem $F_\sigma$ c) Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest zbiorem typu $F_\sigma$, a wszystkich liczb niewymiernych jest zbiorem typu $G_\sigma$ d) istnieją zbiory które nie są ani $G_\sigma$ ani typu $F_\sigma$

tumor postów: 8070	2014-02-21 07:58:43 a) że są $G_\delta$ $[a,b]=\bigcap (a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n})$ $(-\infty,b]=\bigcap (-\infty,b+\frac{1}{n})$ $[a,\infty)=\bigcap (a-\frac{1}{n},\infty)$ $(a,b]=\bigcap (a,b+\frac{1}{n})$ $[a,b)=\bigcap (a-\frac{1}{n},b)$ $(a,b)=\bigcap (a,b)$ (tu $a,b$ mogą się równać odpowiednio $-\infty,+\infty$) Analogicznie dla $F_\sigma$ $[a,b]=\bigcup [a,b]$ $(a,b)=\bigcup[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}] $(sumujemy począwszy od takiego $n$, że prawy koniec przedziału jest większy niż lewy koniec) i tak dalej, analogicznie.

tumor postów: 8070	2014-02-21 08:08:44 b) Niech $A=\bigcap A_n$ i $B=\bigcap B_m$ dla $n,m\in M$ będą $G_\delta$, natomiast $A_i,B_i$ otwarte. Dla każdego $i,j\in N$ także $A_i \cup B_j$ jest otwarty. Zauważmy, że $L=\bigcap_{n\in N}A_n\cup \bigcap_{m\in N}B_m= \bigcap_{n,m\in N}(A_n \cup B_m)=P$ Jeśli bowiem $x\in L$ to $x$ należy do wszystkich $A_n$ lub do wszystkich $B_n$, wówczas należy do wszystkich $A_n\cup B_n$. Jeśli natomiast $x\notin L$, to istnieją $n_0,m_0$, że $x\notin (A_{n_0}\cup B_{m_0})$, czyli $x\notin P$. --- Drugą część podpunktu możemy dowodzić analogicznie, możemy też skorzystać po prostu z praw de Morgana i własności, że dopełnienie zbioru $G_\delta$ jest typu $F_\sigma$.

tumor postów: 8070	2014-02-21 08:11:03 c) Zbiory jednopunktowe są domknięte (bo $R\backslash \{x_0\}$ są otwarte jako suma dwóch przedziałów otwartych). $Q$ to suma przeliczalnie wielu zbiorów jednopunktowych. Natomiast $R \backslash Q$ to dopełnienie zbioru $F_\sigma$.

tumor postów: 8070	2014-02-21 08:51:14 d) Najlepiej będzie podać zbiór, który nie jest, a potem jeszcze udowodnić, że nie jest. Weźmy $A=Q^+ \cup \{0\} \cup (R^- \backslash Q^-)$ Gdyby $A$ był typu $G_\delta$, to $A\cap [0,\infty)=Q^+\cup \{0\}$ byłby typu $G_\delta$, Gdyby $A$ był typu $F_\sigma$, to $A\cap R^-$ byłby typu $F_\sigma$, zatem $Q^-\cap [0,\infty)$ byłby $G_\delta$, czyli i $Q^-$ byłby $G_\delta$. W konsekwencji $Q$ byłby $G_\delta$. Wystarczy zatem pokazać, że $Q$ nie jest $G_\delta$ lub analogicznie, że $R \backslash Q$ nie jest $F_\sigma$. A to zrobiłem tu: http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,1609,0

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj