Inne, zadanie nr 2032

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
xtopeczkax postów: 69	2014-01-29 23:57:25 Wzór $mi(A)=\sum_{n\in A}\frac{1}{2^n}, \ A\subset N$ określa miarę na $\sigma$-ciele wszystkich podzbiorów zbioru $N.$ Uzasadnij, że zbiór wartości miary $mi$ pokrywa się z przedziałem $[0,1].$ Czy z tego, że $mi(A)=mi(B)$ wynika, że $A=B$

tumor postów: 8070	2014-01-31 10:06:15 Takie sumowanie można interpretować jako zapis rozwinięcia dwójkowego liczby rzeczywistej z przedziału $(0,1]$ (analogicznie do rozwinięcia dziesiętnego). Można pokazać łopatologicznie, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $a\in (0,1]$ istnieje ciąg różnych potęg naturalnych liczby $\frac{1}{2}$ zbieżny do $a$. Natomiast $mi(\emptyset)=0$. Zauważmy, że w systemie dziesiętnym mamy $1=0,(9)$ albo $0,5=0,4(9)$. Liczby różne od $0$, które posiadają skończone rozwinięcie, posiadają też rozwinięcie nieskończone. Podobnie w systemie dwójkowym na przykład $0,1=0,0(1)$, zatem dla $A={1}$ i $B=N \backslash \{1\}$ mamy $mi(A)=mi(B)$, choć $A\neq B$. Można zresztą rozumować inaczej. Skoro miara przyjmuje wszystkie wartości z $[0,1]$, to dla pewnego $A$ mamy $mi(A)=0,5$. Zatem z definicji miary mamy $mi(A`)=0,5$.

xtopeczkax postów: 69	2014-01-31 13:50:51 dziękuję

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj