Inne, zadanie nr 2034
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
xtopeczkax postów: 69 | 2014-01-30 08:43:26 Niech dana będzie przestrzeń z miarą $(Y,N,v)$ oraz odwzorowanie $f:X\rightarrow Y$. Oznaczmy $M=\{f^{-1}(B):B\in N\}$ oraz dla każdego $A\in M$ połóżmy $mi(A)=inf\{v(B):B\in N, \ A=f^{-1}(B)\}$. Wykazać, że $mi$ jest miarą |
tumor postów: 8070 | 2014-06-05 16:31:02 $ mi(\emptyset)=0$ Niech $A_n, n\in N$ będzie ciągiem zbiorów parami rozłącznych. Mamy pokazać, że zachodzi $mi(\bigcup A_n)=\sum mi(A_n)$ czyli $inf\{v(B):B\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(B)\}=\sum inf\{v(B):B\in N, A_n=f^{-1}(B)\}$ Jeśli $A_i,A_j$ rozłączne i $A_i=f^{-1}(B_i)$, $A_j=f^{-1}(B_j$), to $B_i,B_j$ rozłączne. Jeśli $\bigcup A_n=f^{-1}(B_n) i v(B_n)=inf\{v(C):C\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(C)\}$, niech wówczas $B=\bigcup B_n$. oczywiście $v(B)=\sum inf\{v(C):C\in N, A_n=f^{-1}(C)\}$ oraz $v(B)\ge inf\{v(C):C\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(C)\}$. Jeśli jednak istnieje $D$ takie, że $\bigcup A_n=f^{-1}(D)$ oraz $v(D)<v(B)$, wówczas rozważmy $D_n=D\cap B_n$. Wówczas $v(B_n)=v(D_n), B_n$ rozłączne i $D_n$ rozłączne, ale $v(\bigcup B_n)>v(D)\ge v(\bigcup D_n)$, choć jednocześnie $\bigcup B_n$ i $\bigcup D_n$ różnią się o przeliczalną sumę zbiorów miary zero, czyli powinny mieć miary równe. Sprzeczność. Takie $D$ nie istnieje. ----- Tak na dobrą sprawę wypada pokazać, że istnieje zawsze zbiór, którego miara jest równa temu infimum miar. Wystarczy zauważyć, że przekrój wszystkich $B$, których przeciwobrazy są równe $A$, spełnia taki warunek. A tak teraz myślę, że może rozwiązanie byłoby czytelniejsze, gdyby od razu zamiast tych infimów rozważać przekroje. ;) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj