logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 2034

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

xtopeczkax
postów: 69
2014-01-30 08:43:26

Niech dana będzie przestrzeń z miarą $(Y,N,v)$ oraz odwzorowanie $f:X\rightarrow Y$. Oznaczmy $M=\{f^{-1}(B):B\in N\}$ oraz dla każdego $A\in M$ połóżmy $mi(A)=inf\{v(B):B\in N, \ A=f^{-1}(B)\}$. Wykazać, że $mi$ jest miarą


tumor
postów: 8070
2014-06-05 16:31:02

$ mi(\emptyset)=0$

Niech $A_n, n\in N$ będzie ciągiem zbiorów parami rozłącznych. Mamy pokazać, że zachodzi
$mi(\bigcup A_n)=\sum mi(A_n)$
czyli
$inf\{v(B):B\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(B)\}=\sum inf\{v(B):B\in N, A_n=f^{-1}(B)\}$

Jeśli $A_i,A_j$ rozłączne i $A_i=f^{-1}(B_i)$, $A_j=f^{-1}(B_j$), to $B_i,B_j$ rozłączne.
Jeśli $\bigcup A_n=f^{-1}(B_n) i v(B_n)=inf\{v(C):C\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(C)\}$, niech wówczas $B=\bigcup B_n$.
oczywiście $v(B)=\sum inf\{v(C):C\in N, A_n=f^{-1}(C)\}$
oraz $v(B)\ge inf\{v(C):C\in N, \bigcup A_n=f^{-1}(C)\}$.
Jeśli jednak istnieje $D$ takie, że $\bigcup A_n=f^{-1}(D)$ oraz $v(D)<v(B)$, wówczas rozważmy $D_n=D\cap B_n$.
Wówczas $v(B_n)=v(D_n), B_n$ rozłączne i $D_n$ rozłączne, ale
$v(\bigcup B_n)>v(D)\ge v(\bigcup D_n)$, choć jednocześnie
$\bigcup B_n$ i $\bigcup D_n$ różnią się o przeliczalną sumę zbiorów miary zero, czyli powinny mieć miary równe. Sprzeczność. Takie $D$ nie istnieje.

-----

Tak na dobrą sprawę wypada pokazać, że istnieje zawsze zbiór, którego miara jest równa temu infimum miar. Wystarczy zauważyć, że przekrój wszystkich $B$, których przeciwobrazy są równe $A$, spełnia taki warunek.
A tak teraz myślę, że może rozwiązanie byłoby czytelniejsze, gdyby od razu zamiast tych infimów rozważać przekroje. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj