Inne, zadanie nr 2036

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
xtopeczkax postów: 69	2014-01-30 08:52:28 Niech $(X,M,mi)$ będzie przestrzenią z miarą i niech $M'$ oznacza klasę wszystkich zbiorów $A$ postaci $A=B\cup C,$ gdzie $B\in M$ a $C$ podzbiorem pewnego zbioru mierzalnego $D$ miary $mi$ zero. Pokazać, że a) $M'$ jest $\sigma$-ciałem b) $mi':M'\rightarrow R_+$ określona następująco $mi'(A)=mi(B)$, gdzie $A=B\cup C$ $A,B$ j.w jest miarą zupełną

tumor postów: 8070	2014-02-21 07:12:29 a) $\emptyset \in M`$ jeśli dla $n \in N$ mamy $A_n \in M`$,$ A_n=B_n \cup C_n$, $B_n \in M$, $C_n$ jest podzbiorem $D_n$ mierzalnego miary $mi$ zero, to $\bigcup A_n=\bigcup B_n \cup \bigcup C_n$, przy tym $\bigcup C_n \subset \bigcup D_n$ oraz $\bigcup D_n$ jest mierzalny miary $mi$ zero i oczywiście $\bigcup B_n \in M$ Niech teraz $A,B,C,D$ będą jak w poleceniu. $B\cup D \in M$, także $X \backslash (B\cup D) \in M$. Wtedy $X \backslash A = X \backslash (B\cup C)= X \backslash (B\cup D) \cup (D \cap B` \cap C`)$, zatem $X \backslash A$ jest sumą zbioru należącego do $M$ i podzbioru zbioru mierzalnego miary $mi$ zero.

tumor postów: 8070	2014-02-21 07:16:53 b) $mi`(\emptyset)=0$ jeśli $A_n=B_n\cup C_n$ (jak w podpunkcie wyżej) są rozłączne, to $mi`(\bigcup A_n)=mi`(\bigcup B_n \cup \bigcup C_n)=mi(\bigcup B_n)=\sum mi(B_n)=\sum mi`(A_n)$ zatem $mi`$ jest miarą. Oczywiście zupełną, z definicji podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne i są miary zero.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj