logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 2036

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

xtopeczkax
postów: 69
2014-01-30 08:52:28

Niech $(X,M,mi)$ będzie przestrzenią z miarą i niech $M'$ oznacza klasę wszystkich zbiorów $A$ postaci $A=B\cup C,$ gdzie $B\in M$ a $C$ podzbiorem pewnego zbioru mierzalnego $D$ miary $mi$ zero. Pokazać, że
a) $M'$ jest $\sigma$-ciałem
b) $mi':M'\rightarrow R_+$ określona następująco $mi'(A)=mi(B)$, gdzie $A=B\cup C$
$A,B$ j.w jest miarą zupełną


tumor
postów: 8070
2014-02-21 07:12:29

a)

$\emptyset \in M`$

jeśli dla $n \in N$ mamy $A_n \in M`$,$ A_n=B_n \cup C_n$, $B_n \in M$, $C_n$ jest podzbiorem $D_n$ mierzalnego miary $mi$ zero, to
$\bigcup A_n=\bigcup B_n \cup \bigcup C_n$, przy tym
$\bigcup C_n \subset \bigcup D_n$ oraz $\bigcup D_n$ jest mierzalny miary $mi$ zero i oczywiście $\bigcup B_n \in M$

Niech teraz $A,B,C,D$ będą jak w poleceniu. $B\cup D \in M$, także
$X \backslash (B\cup D) \in M$.
Wtedy $X \backslash A = X \backslash (B\cup C)=
X \backslash (B\cup D) \cup (D \cap B` \cap C`)$, zatem
$X \backslash A$ jest sumą zbioru należącego do $M$ i podzbioru zbioru mierzalnego miary $mi$ zero.



tumor
postów: 8070
2014-02-21 07:16:53

b)
$mi`(\emptyset)=0$

jeśli $A_n=B_n\cup C_n$ (jak w podpunkcie wyżej) są rozłączne, to

$mi`(\bigcup A_n)=mi`(\bigcup B_n \cup \bigcup C_n)=mi(\bigcup B_n)=\sum mi(B_n)=\sum mi`(A_n)$

zatem $mi`$ jest miarą. Oczywiście zupełną, z definicji podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne i są miary zero.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj