Logika, zadanie nr 2043

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ttomiczek postów: 208	2014-01-30 20:45:14 Mam taki dylemacik, liczę na pomoc, a zwłaszcza na opnię tumora:):):):) Niech $f:X\rightarrow Y$ będzie dowolną funkcją. Określamy zbiór P={$f^{-1}({y}):y\in f(X)$}. a) Wykazać, że zbiór P jest podziałem zbioru X. b) Określić relację równoważności R wyznaczoną przez podział P. c) Czy zbiory X i P są równoliczne. d) Jeżeli odpowiedź w punkcie c) jest negatywna, to podać warunek wystarczający dla funkcji f, aby zbiory X i P były równoliczne. Czy podany warunek jest warunkiem koniecznym równoliczności zbiorów X i P?

tumor postów: 8070	2014-02-10 11:43:52 Przepraszam, przeoczyłem zadanie wcześniej. :) Ja bym zrobił w tę stronę: b) Określmy relację $R$ wzorem $aRb \iff f(a)=f(b)$. Relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia w sposób dość oczywisty, tak jak zwrotna, symetryczna i przechodnia jest relacja "$=$". Zatem $R$ jest relacją równoważności a) a co za tym idzie, $R$ wyznacza podział (jak każda relacja równoważności). Klasy abstrakcji to $[a]=\{b\in X: aRb\}=f^{-1}[\{f(a)\}]$ --- uwaga, przeciwobraz zbioru oznaczam $f^{-1}[A]$, natomiast $f^{-1}(a)$ użyłbym w sensie wartości funkcji odwrotnej dla argumentu $a$. Niektórzy zapisują inaczej, dlatego żeby nie było nieporozumień, wyjaśniam. --- c) niekoniecznie, weźmy dwuelementowy $X$ i funkcję $f$ stałą. d) wystarczający jest np różnowartościowość funkcji $f$ i dla $X$ skończonego jest to zarazem warunek konieczny. Natomiast dla $X$ nieskończonego konieczny nie jest. ------ Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, by zacząć od a) i po prostu pokazać, że każdy $x\in X$ należy do jakiegoś, dokładnie jednego, elementu zbioru $P$, a potem równoznaczność tego podziału i relacji zadanej jak w b). Wówczas nie trzeba się zastanawiać, czy to relacja równoważności, bo taka być musi. Rzecz wynika z twierdzenia o wzajemnej jednoznaczności podziałów zbioru i relacji równoważności.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj