Analiza matematyczna, zadanie nr 2051

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
naimad21 postów: 380	2014-01-31 17:36:54 Obliczyć granicę: $\lim_{x \to 0+}[ctg(x+2x^{2})ctg(x+7x^{2})-ctg(x+4x^{2})ctg(x+5x^{2})]$

naimad21 postów: 380	2014-02-03 12:44:53 może jakaś wskazówka ? :)

tumor postów: 8070	2014-02-03 13:15:44 A tu się nie boisz, że dostaniesz punkty za rozwiązanie? :) Zauważ, że masz $f(x)-g(x)$, przy tym i odjemna i odjemnik dążą do nieskończoności (albo obie do -nieskończoności, co na jedno wychodzi, wystarczy zmienić kolejność). Wyrażenia dające symbol $[\infty-\infty]$ często chcą być zrobione z reguły de l'Hospitala. Czyli tak przekształć, żeby się ją dało zastosować. Da się np zrobić myk taki: $f(x)-g(x)=\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}-\frac{1}{\frac{1}{g(x}}= \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}$ i jak widać dostajemy symbol $[\frac{0}{0}]$ czyli może po de l'Hospitalu coś się poprawi. Natomiast w tym przykładzie niekoniecznie takie przekształcenie będzie najlepsze. Tu już $ctg$ daje się zapisać jako ułamek, więc można do wspólnego mianownika sprowadzać inaczej. :) Powiedz potem, czy wyszło. Bo jak nie wyszło, to będziemy testować inne metody. Mnie się po prostu nie chce tego rozpisywać, dużo liter. :)

naimad21 postów: 380	2014-02-03 14:13:05 Autor zadania za komentarze nie dostaje pkt :) ok, spróbuje tak zrobić, trochę to potrwa, ale może w końcu coś sensownego wyjdzie :D ja kombinowałem coś ze wzorami trygonometrycznymi, ale słabo mi to cos szło ;)

naimad21 postów: 380	2014-02-03 14:59:16 hmm, chyba się poddaje, pochodna z licznika i mianownika tego ułamka wychodzi kosmiczna, po spróbowaniu sprowadzenia licznika i mianownika do wspólnego ich wspólnych mianowników, nie mieści mi się na kartce A4, dodatkowo dochodzi $sin^{2}$, a ctg się nie poskracają do końca :/ Wynik granicy tej funkcji wynosi 6, jeśli to cokolwiek pomoże.

tumor postów: 8070	2014-02-03 22:27:15 Może pomoże, ale że mnie zmuszasz do dziubdziania się, to okropne. Poza tym myśl, jak skrócić pisaninę. A,B,C,D niech oznaczają argumenty funkcji trygonometrycznych w poleceniu, bo nie będę ich przepisywać co chwilę. Po pierwsze ctgx w zerze zachowuje się jak $\frac{1}{x}$, bo $\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{x}=1$. Można więc policzyć granicę z $\frac{1}{AB}-\frac{1}{CD}=\frac{CD-AB}{ABCD}=\frac{6x^4}{x^4+\mbox{wyższe potęgi x}}$ Symbol $[\frac{0}{0}]$ się nadaje do de l'Hospitala, którego stosujemy czterokrotnie, aż dostajemy niezerowe wyrazy wolne, będzie $\frac{64!}{14!}=6$. Jak chcemy liczyć uczciwie, to się urobimy. To znaczy ja. $\lim_{x \to 0+}\frac{cos(A)}{sin(A)}\frac{cos(B)}{sin(B)}-\frac{cos(C)}{sin(C)}\frac{cos(D)}{sin(D)}= \lim_{x \to 0+}\frac{cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)-cos(C)cos(D)sin(A)sin(B)}{sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}= \lim_{x \to 0+}\frac{cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)-cos(C)cos(D)sin(A)sin(B)}{ABCD}\frac{ABCD}{sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}=$ Drugi czynnik oczywiście ma granicę 1, czyli go ignorujemy. Liczymy granicę pierwszego czynnika. Mamy przemnożone przez siebie milion funkcji trygonometrycznych, co sprawi, że pochodna będzie ogromna. Ale możemy użyć wzorów: $sin(A)cos(C)=\frac{1}{2}(sin(A+C)+sin(A-C))$ albo na $sin(A)sin(B)=..$ Wtedy zamiast iloczynu czterech funkcji dostaniemy w liczniku dużą sumę iloczynów 2 funkcji, a wtedy dalej możemy szukać wzorów. :) Mianownik jest dla $x=0$ równy 0. Dopiero czwarta pochodna z mianownika nie będzie 0. Pozostaje niestety liczyć 4 pochodne licznika, ale jak go przekształcimy, to będzie szybciej. :) weźmy na przykład $f(x)=cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)-cos(C)cos(D)sin(A)sin(B)= \frac{1}{4}(cos(A-B)+cos(A+B))(cos(C-D)-cos(C+D)))- \frac{1}{4}(cos(C-D)+cos(C+D))(cos(A-B)-cos(A+B)))= \frac{1}{2}[cos(A+B)cos(C-D)-cos(A-B)cos(C+D)]= \frac{1}{4}[cos(A+B+C-D)+ cos(A+B-C+D)-cos(A-B+C+D)-cos(-A+B+C+D)]$ No i nie wygląda strasznie, prawda? :) $f`(x)=\frac{1}{4}(-sin(A+B+C-D)(16x+2)-sin(A+B-C+D)(20x+2)+sin(A-B+C+D)(8x+2)+sin(-A+B+C+D)(28x+2))\rightarrow 0$ $f``(x)=\frac{1}{4}( -cos(A+B+C-D)(16x+2)^2-cos(A+B-C+D)(20x+2)^2+cos(A-B+C+D)(8x+2)^2+cos(-A+B+C+D)(28x+2)^2 -sin(A+B+C-D)16-sin(A+B-C+D)20+sin(A-B+C+D)8+sin(-A+B+C+D)28 )\rightarrow 0$ $f```(x)=\frac{1}{4}( sin(A+B+C-D)(16x+2)^3+sin(A+B-C+D)(20x+2)^3-sin(A-B+C+D)(8x+2)^3-sin(-A+B+C+D)(28x+2)^3 -cos(A+B+C-D)2(16x+2)16-cos(A+B-C+D)2(20x+2)20+cos(A-B+C+D)2(8x+2)8+cos(-A+B+C+D)2(28x+2)28 -cos(A+B+C-D)(16x+2)16-cos(A+B-C+D)(20x+2)20+cos(A-B+C+D)(8x+2)8+cos(-A+B+C+D)(28x+2)28 )\rightarrow 0$ $f^{(4)}(x)=\frac{1}{4}( \mbox{ pomijam trochę wyrazów bo się zerują } -cos(A+B+C-D)31616-cos(A+B-C+D)32020+cos(A-B+C+D)388+cos(-A+B+C+D)32828 )\rightarrow -364-3100+316+3196=348=6*4!$ A czwarta pochodna mianownika to $4!$ :) Zgadza się, jupi. ;)

naimad21 postów: 380	2014-02-05 13:03:59 dziękuje za fatyge :) ten pierwszy sposób bardzo sprytny w drugim "troche" więcej liczenia, ja nie zamieniałem ctg(A) tylko z tego pochodną liczyłem, dlatego się troszke wkopałem w liczenie :/

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj