Analiza matematyczna, zadanie nr 2052

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
naimad21 postów: 380	2014-01-31 17:38:54 Początkowym wyrazem ciągu jest dowolna liczba wymierna. Kolejny wyraz ciągu powstaje przez dopisanie na końcu licznika oraz mianownika poprzedniego wyrazu dowolnej cyfry (niekoniecznie tej samej).Pokazać, ze każdy ciąg otrzymany tym sposobem jest zbieżny.

naimad21 postów: 380	2014-02-03 12:44:34 może jakaś wskazówka ? :)

tumor postów: 8070	2014-02-03 14:47:01 Niech $a_1$ będzie naszą liczbą wymierną. Może być dodatnia, prawda? Jeśli byłaby ujemna, to faktu zbieżności to nijak nie zmieni, będzie tylko zbieżność do liczby przeciwnej. :) Najmniej możemy dopisać cyfrę $0$, najwięcej cyfrę $9$. Mamy zatem $\frac{10}{19}a_1 \le a_2 \le \frac{19}{10}a_1$ (Przez $19$ mnożymy tylko, jeśli do liczby $1$ dodamy cyfrę $9$, w innych przypadkach to będzie mnożenie przez mniejszą liczbę). Podobnie $\frac{100}{109}a_2 \le a_3 \le \frac{109}{100}a_2$ $\frac{1000}{1009}a_3 \le a_4 \le \frac{1009}{1000}a_3$ $\frac{10000}{10009}a_4 \le a_5 \le \frac{10009}{10000}a_4$ $\frac{100000}{100009}a_5 \le a_6 \le \frac{100009}{100000}a_5$ $\frac{1000000}{1000009}a_6 \le a_7 \le \frac{1000009}{1000000}a_6$ .... Możemy zatem szacować (grubo, co tam): $\|a_2-a_1\|\le a_1$ $\|a_3-a_2\|\le \frac{1}{10}a_2 \le \frac{1}{10}2a_1$ $\|a_4-a_3\|\le \frac{1}{100}a_3 \le \frac{1}{100}\frac{11}{10}a_2 \le \frac{1}{100}\frac{11}{10}2a_1$ $\|a_5-a_4\|\le \frac{1}{1000}a_4\le \frac{1}{1000}\frac{101}{100}a_3 \le \frac{1}{1000}\frac{101}{100}\frac{11}{10}a_2\le \frac{1}{1000}\frac{101}{100}\frac{11}{10}2a_1 $ ... Zatem kolejne różnice dają się oszacować przez $\|a_{n+1}-a_n\| \le (\frac{1}{10})^{n-1}(\frac{11}{10})^{n-2}2a_1$ Suma wszystkich różnic jest mniejsza niż suma szeregu geometrycznego (zbieżnego), co dowodzi tezy. :) Oczywiście dodaję tu wartości bezwzględne, ale suma liczb jest mniejsza lub równa od sumy ich wartości bezwzględnych.

naimad21 postów: 380	2014-02-03 17:54:06 dziękuje ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj