Analiza matematyczna, zadanie nr 2056

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
rychu0707 postów: 7	2014-02-01 18:02:42 Moge prosic o pomoc w rozwiązaniu równań rózniczkowych? Prosze o w miare jak najprosciej a) $\frac{dy}{dx}-2x+y=0$ b) $x+y-2-\frac{dy}{dx}=0$ c) $x\frac{dy}{dx}-ylnx=2y$

rychu0707 postów: 7	2014-02-02 17:25:21 prosze bardzo o pomoc. bardzo wazne

tumor postów: 8070	2014-05-23 19:31:07 a) rozwiązujemy $\frac{dy}{dx}=-y$ $\frac{dy}{y}=-1dx$ $ln(y)=-x +C_1$ $y=e^{-x}C_2$ Zastosujemy dalej metodę uzmienniania stałej, czyli stałą $C_2$ potraktujemy jak funkcję $C(x)$ Wówczas $\frac{dy}{dx}=-e^{-x}C(x)+e^{-x}C`(x)$ Równanie przyjmuje postać $ -e^{-x}C(x)+e^{-x}C`(x)-2x+e^{-x}C(x)=0$ czyli $e^{-x}C`(x)-2x=0$ Stąd $C`(x)=2xe^x$ $C(x)=2xe^x-2\int e^x=2xe^x-2e^x$ Ostatecznie rozwiązanie szczegółowe r. niejednorodnego $y=e^{-x}(2xe^x-2e^x)=2x-2$ Rozwiązanie ogólne $y=Ce^{-x}+2x-2$ Wiadomość była modyfikowana 2014-05-23 19:32:44 przez tumor

tumor postów: 8070	2014-05-23 19:38:05 b) $\frac{dy}{dx}=y$ $ln(y)=x+C_1$ $y=C_2e^{x}$ uzmienniamy stałą $y=C(x)e^{x}$ $y`=C`(x)e^x+C(x)e^x$ równanie przyjmuje postać $x+C(x)e^x-2-C`(x)e^x-C(x)e^x=0$ $x-2=C`(x)e^x$ $C(x)=\int (x-2)e^{-x} dx$ całka jest łatwa, odpowiedzią będzie jak poprzednio suma rozwiązania równania jednorodnego ($C_2e^{x}$) i rozwiązania szczegółowego rozwiązania niejednorodnego, czyli to co tam z całki wyjdzie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj