Algebra, zadanie nr 2081
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| cukierek123 postów: 15 |  2014-02-04 14:42:19Sprawdzić, czy jest homomorfizmem grup. Jeśli tak wyznaczyć Kerh i Imh. a) $C^{*}$ $\rightarrow$$R^{*}$,h(z)= |z| b) $C$ $\rightarrow$$R$,h(z)= |z| c) R$\rightarrow$R, h(x)=3x d) $R^{*}$ $\rightarrow$$R^{*}$,h(x)=3x e) $R^{*}$ $\rightarrow$$R^{*}$,h(x)= $x^{2}$ f) $R^{*}$ $\rightarrow$$R$,h(x)=$x^{2}$ h) $R^{*}$ $\rightarrow$$R^{*}$,h(x)= $\frac{x}{|x|}$ g)$R$ $\rightarrow$$R^{*}$,h(x)=$2^{x}$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-04 16:42:33 Należy się zastanowić, co jest w danej grupie działaniem, a potem sprawdzić, czy $ h(a+b)=h(a)*h(b)$, gdzie $+$ oznacza działanie w grupie wyjściowej, a $*$ w docelowej. a) mamy $C^*$ z mnożeniem i $R^*$ z mnożeniem, w obu elementem neutralnym jest $1$. Zachodzi $|zw|=|z||w|$, co wynika np z zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej $kerh=\{z \in C^*: |z|=1\}$ - czyli okrąg jednostkowy o środku w $0$. $imh=R^+$ Każda liczba dodatnia $x$ jest modułem pewnej liczby zespolonej (np $z=x+0i$), natomiast moduł liczby zespolonej ujemny być nie może. |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-04 16:46:28 b) Grupy są z dodawaniem i elementem neutralnym $0$. Nie jest prawdą, że $|a+b|=|a|+|b|$ np dla liczb (zespolonych) $a=1$ $b=-1$ c) Grupy z dodawaniem. Jest prawdą, że $3(a+b)=3a+3b$. $kerh=\{0\}$ $imh=R$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-04 16:49:48 d) grupy z mnożeniem Nie jest prawdą, że $3(ab)=3a3b$ e) grupy z mnożeniem $(ab)^2=a^2b^2$ $kerh=\{1,-1\}$ $imh=R^+$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-04 16:53:45 f) Pierwsza grupa z mnożeniem i elementem neutralnym 1, druga z dodawaniem i elementem neutralnym $0$. Gdyby $h$ było homomorfizmem, mielibyśmy $h(1)=0$, tu tak nie jest, nie mamy homomorfizmu. h) inaczej $h(x)=sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \mbox{ dla }x>0 \\ -1 \mbox{ dla }x<0 \end{matrix}\right.$ Obie grupy z mnożeniem. Jest prawdą, że $sgn(ab)=sgn(a)sgn(b)$ $kerh=R^+$ $imh=\{-1,1\}$ Wiadomość była modyfikowana 2014-02-04 16:54:20 przez tumor |
| tumor postów: 8070 | 2014-02-04 16:56:47 g) pierwsza grupa z dodawaniem, druga z mnożeniem $2^{a+b}=2^a*2^b$, zatem jest to homomorfizm $kerh=\{0\}$ bo $2^x=1$ nie ma innych rozwiązań. $imh=R^+$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj