logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 2083

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

cukierek123
postów: 15
2014-02-04 14:49:32

wyznaczyć warstwy pierścienia P względem jego ideału I. Utworzyć
tabelki działań w pierścieniu ilorazowym P/I. Czy ideał I jest pierwszy, czy jest on maksymalny?

a) P=Z, I=3Z
b) P=$Z_{10}$, I=2$Z_{10}$
c) P=Z, I=4Z
d) P=$Z_{8}$, I=4$Z_{8}$


tumor
postów: 8070
2014-02-21 09:30:05

a)
${P}/{I}=\{I, [1], [2]\}$, gdzie
$[1]=\{z\in Z: 3|z-1\}$
$[2]=\{z\in Z: 3|z-2\}$

$[1]+[1]=[2]$
$[1]+[2]=I$
$[2]+[2]=[1]$

Ideał $I$ jest maksymalny, bo jeśli $a\notin I$, to ideał generowany przez $I\cup \{a\}$ nie jest właściwy.
Jako ideał maksymalny $I$ jest także ideałem pierwszym.



tumor
postów: 8070
2014-02-21 09:31:45

b) $P/I=\{I,[1]\}$
$[1]=\{1,3,5,7,9\}$

$[1]+[1]=I$

Ideał jest maksymalny i pierwszy, argumentacja jak wyżej.


tumor
postów: 8070
2014-02-21 09:38:43

c) $P/I=\{I,[1],[2],[3]\}$
$[i]=\{z\in Z:3|z-i\}$
$I=[0]$

$[a]+[b]=[(a+b)_4]$
gdzie $()_4$ oznacza resztę z dzielenia przez $4$.

Ideał $I$ zawarty jest w ideale właściwym $2Z$, nie jest maksymalny.
Nie jest to też ideał pierwszy, gdyż $2*2=4\in I$, jednakże $2\notin I$.
(A przy tym skoro nie jest pierwszy, to nie może być maksymalny, więc argument poprzedni był w zasadnie zbędny)



tumor
postów: 8070
2014-02-21 09:41:51

d)
$P/I=\{I,\{1,5\},\{2,6\},\{3,7\}\}$

$\{1,5\}+\{1,5\}=\{2,6\}$
$\{1,5\}+\{2,6\}=\{3,7\}$
$\{1,5\}+\{3,7\}=I$
$\{2,6\}+\{2,6\}=I$
$\{2,6\}+\{3,7\}=\{1,5\}$

I nie jest maksymalny i nie jest pierwszy, argumentacja jak wyżej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj