Algebra, zadanie nr 2083

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
cukierek123 postów: 15	2014-02-04 14:49:32 wyznaczyć warstwy pierścienia P względem jego ideału I. Utworzyć tabelki działań w pierścieniu ilorazowym P/I. Czy ideał I jest pierwszy, czy jest on maksymalny? a) P=Z, I=3Z b) P=$Z_{10}$, I=2$Z_{10}$ c) P=Z, I=4Z d) P=$Z_{8}$, I=4$Z_{8}$

tumor postów: 8070	2014-02-21 09:30:05 a) ${P}/{I}=\{I, [1], [2]\}$, gdzie $[1]=\{z\in Z: 3\|z-1\}$ $[2]=\{z\in Z: 3\|z-2\}$ $[1]+[1]=[2]$ $[1]+[2]=I$ $[2]+[2]=[1]$ Ideał $I$ jest maksymalny, bo jeśli $a\notin I$, to ideał generowany przez $I\cup \{a\}$ nie jest właściwy. Jako ideał maksymalny $I$ jest także ideałem pierwszym.

tumor postów: 8070	2014-02-21 09:31:45 b) $P/I=\{I,[1]\}$ $[1]=\{1,3,5,7,9\}$ $[1]+[1]=I$ Ideał jest maksymalny i pierwszy, argumentacja jak wyżej.

tumor postów: 8070	2014-02-21 09:38:43 c) $P/I=\{I,[1],[2],[3]\}$ $[i]=\{z\in Z:3\|z-i\}$ $I=[0]$ $[a]+[b]=[(a+b)_4]$ gdzie $()_4$ oznacza resztę z dzielenia przez $4$. Ideał $I$ zawarty jest w ideale właściwym $2Z$, nie jest maksymalny. Nie jest to też ideał pierwszy, gdyż $2*2=4\in I$, jednakże $2\notin I$. (A przy tym skoro nie jest pierwszy, to nie może być maksymalny, więc argument poprzedni był w zasadnie zbędny)

tumor postów: 8070	2014-02-21 09:41:51 d) $P/I=\{I,\{1,5\},\{2,6\},\{3,7\}\}$ $\{1,5\}+\{1,5\}=\{2,6\}$ $\{1,5\}+\{2,6\}=\{3,7\}$ $\{1,5\}+\{3,7\}=I$ $\{2,6\}+\{2,6\}=I$ $\{2,6\}+\{3,7\}=\{1,5\}$ I nie jest maksymalny i nie jest pierwszy, argumentacja jak wyżej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj