Topologia, zadanie nr 2090

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia93 postów: 65	2014-02-05 15:15:49 Niech W będzie zbiorem na płaszczyźnie określonym przez W={(x,y): co najmniej jedna z licz x i y jest niewymierna}. a) czy W jest zbiorem spójnym ? dlaczego? b) jakie jest wnętrze zbioru W ? dlaczego? c) jakie jest domknięcie zbioru W ? dlaczego?

tumor postów: 8070	2014-02-06 11:28:58 a) Weźmy zbiór $A_0=\{(x,y): x=\sqrt{2} \vee y=\sqrt{2}\}$ Zbiór $A_0$ jest sumą dwóch prostych ("pionowej" i "poziomej"), a proste są spójne (jako ciągłe obrazy przestrzeni spójnej $R$), zatem $A_0$ jako suma dwóch zbiorów spójnych o niepustym przekroju jest zbiorem spójnym. Niech $A_i=\{(x,y): x=i \vee y=i\}$ dla wszystkich $i$ niewymiernych. Wszystkie zbiory $A_i$ są spójne. Zbiór $W$ jest sumą $A_0 \cup (\bigcup_{i \in R\backslash Q}A_i)$, czyli jest sumą zbiorów spójnych, z których co najmniej jeden ma niepusty przekrój ze wszystkimi pozostałymi. Zatem $W$ jest spójny. ----- Inaczej: można wyjść od spójności łukowej lub drogowej. Bierzemy dowolne dwa punkty należące do $W$, pokazujemy istnienie łuku/drogi. Stąd wynika spójność W.

tumor postów: 8070	2014-02-06 11:34:13 b) $Q^2$ jest gęstym podzbiorem $R^2$. Każdy niepusty zbiór otwarty w $R^2$ ma niepusty przekrój z $R^2 \backslash W$, zatem $int W=\emptyset$ c) Rozumując podobnie jak w b) dostajemy $int Q^2=\emptyset$, natomiast $cl W = cl (R^2\backslash Q^2)=R^2\backslash int Q^2=R^2$ --- uwagi $clA$ to domknięcie $A$ $intA$ to wnętrze $A$ w drugim swoim zadaniu piszesz niestarannie i nieczytelnie, więc mnie odrzuca :) Tu się da pisać ładnie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj