Analiza matematyczna, zadanie nr 2123

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sidr postów: 9	2014-02-08 22:06:30 Proszę o pomoc w rozwiązaniu jeszcze jednej nierówności. $x\le3-\frac{1}{x-1}$

tumor postów: 8070	2014-02-08 23:03:40 $x\neq 1$ Pierwszy sposób $0 \le \frac{-x(x-1)+3(x-1)-1}{x-1}$ $0 \le \frac{-x^2+4x-4}{x-1}$ $0 \le \frac{(x-2)(2-x)}{x-1}$ $0 \le (x-2)^2(1-x)$ jeśli $x\neq 2$ to dzielimy przez $(x-2)^2$ $0 \le 1-x$ $x\le 1$ a jeśli $x=2$ to nierówność spełniona $x\in (-\infty, 1)\cup\{2\}$ ------ Inaczej, może ładniej: Można pokazać, że $\frac{1}{x}+x \ge 2$ dla $x>0$. Bowiem dla $x=1$ mamy $\frac{1}{x}+x=2$, natomiast jeśli $x=1+a$ (dla $a>0$), to $\frac{1}{x}+x=\frac{1}{1+a}+1+a=1+\frac{1+a+a^2}{1+a}>1+1=2$. Zauważmy, że nierówność $x\le 3-\frac{1}{x-1}$ to inaczej $x-1+\frac{1}{x-1}\le 2$. Dla $x-1=1$ (czyli $x=2$) mamy (rozumując jak wyżej), że $x-1+\frac{1}{x-1}=2$, natomiast jeśli $x-1>0$ i $x\neq 2$, to $x-1+\frac{1}{x-1}>2$. Natomiast gdy $x-1<0$, to mamy $x-1+\frac{1}{x-1}<2$, bo cała lewa strona jest mniejsza od $0$, czyli i od $2$.

sidr postów: 9	2014-02-09 00:10:15 Dziękuję! :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj