Topologia, zadanie nr 2147

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
misia12345 postów: 16	2014-02-12 21:22:53 Udowodnij, że suma dwóch zbiorów otwartych w $X$ jest zbiorem otwartym w $X$. Dowód musi być, nie z definicji, że suma zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, tylko jakoś inaczej. Z góry dziękuję za pomoc :).

tumor postów: 8070	2014-06-25 08:37:05 Wszystko zależy od tego, jak się wprowadza topologię. Jeśli przez definicję topologii jako pewnej rodziny zbiorów otwartych, to wśród własności od razu jest, że suma zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Jeśli przez bazę, to każdy zbiór otwarty jest sumą zbiorów bazowych, suma zbiorów otwartych oczywiście też musi być sumą zbiorów bazowych. Może być przez pełną bazę otoczeń dla punktów. Wówczas jeśli dla każdego $x\in A$ mamy otoczenie $U$ takie, że $x\in U\subset A$, to $A$ nazywamy otwartym. Jeśli analogiczny warunek spełnia $B$, to spełnia go także suma, bowiem dla $x\in A$ mamy $x\in U\subset A \subset A\cup B$ a dla $x\in B$ mamy $x\in U\subset B \subset A\cup B$ No i wreszcie można się wygłupiać, czyli kombinować coś z wnętrzem, że np. skoro $A=int A, B=int B$, oczywiste jest $int (A\cup B)\subset A\cup B$, to mamy $A\cup B = int A\cup int B$ $int A\subset int (A\cup B)$ $int B\subset int (A\cup B)$ czyli $A\cup B = int A\cup int B\subset int (A\cup B)$ czyli $A\cup B = int (A\cup B)$ Co powinno zadziałać np. przy zdefiniowaniu topologii przez operację domknięcia (no i wnętrza też przez operację domknięcia).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj