Topologia, zadanie nr 2157

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
misia12345 postów: 16	2014-02-14 14:51:33 Niech W będzie zbiorem na płaszczyźnie określonym przez $W=\left\{ (x,y):0<x<1,x \in Q,0<y<x\right\}$ a) jakie jest domknięcie zbioru W? dlaczego? b) jakie jest wnętrze zbioru W? dlaczego? c) czy W jest zbiorem spójnym? dlaczego? d) czy W jest zbiorem zwartym? dlaczego? e) czy $\overline{W}$ jest zbiorem zwartym? dlaczego? zrobiłam to tak: zbiór W to będzie $(0,1)\times (0,1)$, $Q \times R$ a) $\overline{W}=[0,1]\times[0,1]$ gdyż każda kula o środku w tych punktach zawsze bdzie miała niepustą część wspólną z zbiorem W b) $IntW=\emptyset$ bo nie istnieje żadna kula o środku w tych punktach, żeby była zawarta w W i nie występowała poza W c) W nie jest spójny ponieważ nie każde dwa punkty z W można połączyć łamaną d)W jest zwarty bo jest ograniczony i domknięty e)$\overline{W}$ również jest zwarty bo jest ograniczony i domknięty. proszę o sprawdzenie tego. :)

tumor postów: 8070	2014-02-14 18:43:48 Przede wszystkim źle sobie wyobrażasz $W$. Rozważ na przykład punkt $(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$. Czy należy do $W$? Twoim zdaniem tak, a naprawdę nie :P Dla tego błędnie podanego W poprawnie liczysz domknięcie, wnętrze, poprawnie określasz spójność, niepoprawnie zwartość i domkniętość, poprawnie ograniczoność, no a $\overline{W}$ będzie zwarty jako ograniczony i domknięty, gdy tylko poprawnie wyznaczysz $W$. Zatem zacznij od znalezienia błędu w opisie zbioru $W$.

misia12345 postów: 16	2014-02-14 19:33:58 hmm faktycznie bo wtedy będzie sprzeczność. hmm czy to będzie taka piramidka, ten zbiór? a najpierw napisałeś, że poprawnie liczę domknięcie a później, że nie :P? to jak wkońcu? i jak to będzie z tą zawartością? z góry dziękuję :)

tumor postów: 8070	2014-02-14 19:58:41 $W$ jest ograniczony. $\overline{W}$ będzie oczywiście domknięty i pozostanie ograniczony, zatem $\overline{W}$ będzie zwarty. Sam $W$ (w kształcie trójkąta równoramiennego, prostokątnego) nie jest domknięty. Weź jakiś punkt ze środka trójkąta ale o obu współrzędnych niewymiernych. Wtedy ten punkt nie należy do $W$, ale każde jego otoczenie ma z W niepusty przekrój, czyli W domknięty nie jest. Nie może być zatem zwarty, bo w $R^2$ zwarte podzbiory są domknięte i ograniczone. Poza tym $W$ nie jest spójny. Można go podzielić np tak: $W_1=\{(x,y)\in W: x<\frac{1}{\sqrt{2}}\}$ $W_2=W \backslash W_1$ Wówczas zbiory $W_1, W_2 $są domknięto-otwarte w przestrzeni $W$, co przeczy definicji spójności (jako niemożności podziału na zbiory domknięto-otwarte niepuste i rozłączne). Argumentacja, że wnętrze $W$ będzie zbiorem pustym jest dobra. Każda kula o środku należącym do $W$ ma też punkty nie należące do $W$. Domknięcie $W$ to trójkąt "wypełniony" i "z brzegiem", czyli obszar $\{(x,y): 0 \le x \le 1; 0\le y \le x \}$.

misia12345 postów: 16	2014-02-14 21:15:13 Ok. Ale odnośnie samego zbioru $W$ napisałeś, żebyśmy wzięli jakiś punkt ze środka o współrzędnych niewymiernych, ale dlaczego? Nie powinniśmy brać tylko punktów które faktycznie należą do zbioru? I wtedy rozapatrywali domkniętość?

tumor postów: 8070	2014-02-15 11:52:12 Są różne warunki, które można sprawdzać, żeby ocenić, czy zbiór jest domknięty czy otwarty. Zbiór otwarty $U$ to taki, że dla każdego $x\in U$ umiemy znaleźć $V$ (bazowy, a w przestrzeni metrycznej $V$ może być pewną kulą otwartą) taki, że $x\in V \subset U$. Korzystałem z tego właśnie warunku. Przyjąłem $U= R^2 \backslash W$, czyli rozpatrywałem dopełnienie zbioru $W$. Wziąłem zatem odpowiedni punkt z dopełnienia i pokazałem, że to dopełnienie nie jest otwarte, a co za tym idzie - sam $W$ nie jest domknięty. Inaczej (choć podobnie) Mamy $U= R^2 \backslash W$. Można poszukać wnętrza zbioru $U$. Jeśli wnętrze $U$ nie jest równe zbiorowi $U$, to $U$ nie jest otwarty, czyli $W$ nie jest domknięty. W przestrzeni $R^2$ możemy jednak korzystać i z innych warunków. Na przykład - zbiór $W$ jest domknięty, jeśli dla każdego ciągu $w_n$ elementów z $W$ zbieżnego do granicy $w$, także granica w należy do $W$. Można tu zatem wziąć $w_n=(\frac{1}{2}, \frac{1}{n+2})$ dla $n\in N$. Wszystkie $w_n$ należą do $W$, granicą ciągu $w_n$ jest $w=(\frac{1}{2}, 0)\notin W$, czyli $W$ nie jest domknięty. Można jeszcze inaczej. W jest ograniczony. Zwartość polega na tym, że z każdego pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone. Zatem można (bo da się) skonstruować pokrycie nieskończone, pokazać, że z niego nie uda się wybrać podpokrycia skończonego, a co za tym idzie $W$ nie jest zwarty. Gdyby jako ograniczony był domknięty, to byłby i zwarty, jeśli więc jest ograniczony i nie jest zwarty, to nie może być domknięty.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj