Arytmetyka, zadanie nr 2159

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mal12 postów: 4	2014-02-14 21:40:57 proszę o pomoc udowodnij, że $\sqrt{3}$ jest niewymierny

tumor postów: 8070	2014-02-15 16:38:07 Hipotetycznie: $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, gdzie $p,q\in N^+$ i $NWD(p,q)=1$ Podnieśmy do kwadratu $3=\frac{p^2}{q^2}$ $3q^2=p^2$ Zatem p dzieli się przez $3$, bo $3$ jest liczbą pierwszą. Zatem $q$ nie dzieli się przez $3$. Niech $p=3k$. Wtedy: $3q^2=9k^2$ $q^2=3k^2$ Zatem $q$ dzieli się przez $3$. Sprzeczność. --- Dwukrotnie korzystałem z prawa, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą i $p$ dzieli iloczyn $ab$, to $p$ dzieli co najmniej jedną z liczb $a,b$ --- Można argumentować inaczej, korzystając z twierdzenia, że rozkład każdej liczby naturalnej na iloczyn liczb pierwszych jest jednoznaczny. Tzn $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}...$ gdzie $p_i$ są kolejnymi liczbami pierwszymi a $k_i$ są liczbami naturalnymi (być może zerami). Wówczas liczby $3q^2$ i $p^2$ nie mogą być równe, bowiem wykładnik pierwszej z nich nad $p_2=3$ jest nieparzysty, drugiej zaś parzysty.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj