Topologia, zadanie nr 2160

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
misia12345 postów: 16	2014-02-14 22:16:20 Udowodnić, że suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. $x\in\overline{A} \vee x\in\overline{B} \Rightarrow x\in\overline{A\cup B}$ $\forall_{r_1>0} K(x,r_1)\cap A\neq\emptyset \vee \forall_{r_2>0}\cap B\neq\emptyset \Rightarrow r=max/min(r_1,r_2), K(x,r)\cap(A\cup B)\Rightarrow x\in\overline{A\cup B}$ zgadza się?

tumor postów: 8070	2014-02-15 16:30:27 Po pierwsze brakuje Ci tam czegoś o kuli $K(x,r_2)$, co raczej chciałaś napisać, ale przeoczyłaś. :) Po drugie masz kwantyfikator $\forall$, więc jak chcesz brać max/min (i które właściwie?) ze WSZYSTKICH $r_1$ i $r_2$? Gdybyśmy mieli $\exists$, to stwierdzalibyśmy istnienie co najmniej jednego $r_1$ i jednego $r_2$ o jakiejś własności, z dwóch liczb rzeczywistych da się wziąć max czy min. Ale jak chcesz brać max/min z wszystkich możliwych promieni, tego nie wiem. :) Zapisujesz dowód symbolicznie, ale ani to nie jest potrzebne, żeby komentarza słownego unikać, ani nie jest dobrze, że udając pełną formalność pozwalasz sobie na niedoróbki. Niech $A,B$ są domknięte. To znaczy $A`,B`$ są otwarte. Przekrój dwóch zbiorów otwartych jest otwarty, bowiem jeśli $x$ należy do przekroju, to należy do $A`$ wraz z kulą $K(x,r_1)$ i należy do $B`$ wraz z kulą $K(x,r_2$). Wtedy dla $r=min(r_1,r_2)$mamy $ K(x,r)\subset A`\cap B`$, czyli $A`\cap B`$ jest otwarty. Z praw de Morgana jego dopełnienie (czyli $A \cup B$) jest zbiorem domkniętym. ---- Używasz warunku na sprawdzenie, czy $x$ należy do domknięcia zbioru. Mamy $x\in \overline{A} \iff \forall_{r>0}K(x,r)\cap A \neq \emptyset$. Można go użyć, żeby pokazać, że $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cup B}$ Jeśli bowiem każde otoczenie $x$ ma niepusty przekrój z $A$, to każde ma z $A\cup B$, podobnie jeśli każde otoczenie $x$ ma niepusty przekrój z $B$, to każde ma z $A\cup B$, co dowodzi inkluzji $\overline{A}\cup \overline{B}\subset \overline{A\cup B}$ Niech teraz $x$ będzie taki, że każda kula $K(x,r)$ o dodatnim promieniu ma niepusty przekrój z $A\cup B$. Zatem każda kula ma niepusty przekrój z $A$ lub każda kula ma niepusty przekrój z $B$. Gdyby bowiem niektóre kule miały przekrój tylko z $A$, inne tylko z $B$, to część wspólna nie miałaby przekroju z $A\cup B$. Z tego można wnioskować, że skoro suma domknięć jest domknięciem sumy, to suma zbiorów domkniętych też jest domknięciem ich sumy, a co za tym idzie jest zbiorem domkniętym.

misia12345 postów: 16	2014-02-15 18:36:35 aha no tak racja, pomieszało mi się. a czy można byłoby to zrobić poprzez negację tzn. Załóżmy, że A,B domknięte, chcemy pokazać, że jeśli $x \in \overline {A \cup B}$ to $x \in A \cup B$ przypuśćmy, że $x \not\in A \cup B$ wtedy $x\not\in A \wedge x\not\in B \Rightarrow x \not\in\overline A \wedge x \not\in\overline B.$ $\exists r_1>0, K(x,r_1) \cap A=\emptyset \wedge \exists r_2>0, K(x,r_2) \cap B=\emptyset \Rightarrow r=min(r_1,r_2) K(x,r) \cap A=\emptyset \wedge K(x,r) \cap B=\emptyset \Rightarrow K(x,r) \cap (A \cup B)=\emptyset \Rightarrow x\not\in\overline{A \cup B}$ czyli reasumując powyższe można stwierdzić, że suma dwóch zbiorów domkniętych jest zb. domkniętym?

tumor postów: 8070	2014-02-15 19:11:51 O, ten dowód masz bardzo ładny. Gdzieś wcześniej powinien się znaleźć dowód, że domknięcie zbioru jest domknięte. (Bo to, że się nazywa tak samo, to nie znaczy, że jest. Trzeba wykazać, że w pewien sposób zdefiniowane domknięcie spełnia też definicję zbiorów domkniętych, chyba że się definiuje zbiory domknięte jako pewną rodzinę zamkniętą na nieskończone przekroje, a domknięcie jako przekrój pewnych zbiorów domkniętych, wówczas to, że domknięcie jest domknięte jest dane bezpośrednio). Zatem jeśli wcześniej był gdzieś dowód, że domknięcie zbioru jest domknięte (albo jeśli wynika to jasno z przyjętych definicji), to Twój ostatni dowód jest wystarczający. Pokazujesz, że suma zbiorów domkniętych (czyli równych swoim domknięciom) jest zbiorem domkniętym (bo równym domknięciu). Jak możesz przeczytać u Kuratowskiego czy Engelkinga, topologie można prowadzać różnie, można zaczynać od różnych definicji. Na wykładzie masz pewnie twierdzenia w pewnym uporządkowaniu, natomiast ja toku wykładu nie znam, więc muszę zaznaczać, z czego korzystam. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj