Analiza matematyczna, zadanie nr 2172

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
monkaa postów: 1	2014-02-18 22:20:10 Czy funkcja zadana wzorem: f(x)= sinx dla x $\in$ R/Q 1 dla x $\in$ Q jest ciągła w punkcie x=$\pi$ ? Wzór funkcji w klamerce.

abcdefgh postów: 1255	2014-02-18 23:30:17 f(x)=$\left\{\begin{matrix} sinx \ \ x\in R/Q\\ 1 \ \ x\in Q \end{matrix}\right.$ $lim_{x \to \pi} sinx =sin\pi=0$ $f(\pi)=sin\pi=0$ jest ciągła w x=$\pi$

tumor postów: 8070	2014-02-19 07:41:50 Ktoś tu nie rozumie pojęcia granicy a) z def Heinego możemy wziąć ciąg $x_n $ kolejnych wymiernych przybliżeń $\pi$, wówczas $x_n \rightarrow \pi$ oraz $f(x_n) \rightarrow 1$ Natomiast dla $y_n=\frac{n-1}{n}\pi$ mamy także $y_n\rightarrow \pi$, jednakże $f(y_n) \rightarrow 0$ Zatem granica nie istnieje. b) z def Cauchy'ego możemy wziąć $\epsilon=\frac{1}{4}$. Wówczas nie istnieje takie $\delta>0$ i takie $g$, że dla $x\in (\pi-\delta, \pi+\delta)$ mamy $\|f(x)-g\|<\epsilon$, bowiem w każdym otoczeniu $\pi$ znajdziemy zarówno liczby wymierne (dla których $f(x)=1$) jak i niewymierne większe lub równe $\pi$ (dla których $f(x)=sinx \le 0$), co wyklucza istnienie granicy. c) funkcja o której piszemy ciągła jest tylko w $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in Z$, tylko tam $\lim_{h \to 0}f(x+h)$ istnieje i jest równe $f(x)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj