Analiza matematyczna, zadanie nr 2177

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
majewa888 postów: 24	2014-02-22 12:11:11 Zbadaj a)otwartość b)domkniętość c)ograniczoność d)zwartość e) spójność f)wypukłość następujących zbiorów. W każdym przypadku określ g)wnętrze h)domknięcie oraz brzeg. 1.$A=\left\{x\in R: \sin x>\frac{1}{2}\right\}\subset R$ 2.$A=\left\{x \in R: x^7-x^2+1\le 0 \right\}\subset R$ 3.$A=\left\{x \in R^2:\sin x_1>\frac{1}{2} \right\}\subset R^2$ 4.$A=\left\{x\in R^2: x_1^{4}+x_2^{4}\le 1\right\}\subset R^2$

tumor postów: 8070	2014-02-22 12:51:25 O jaka spora babranina. Korzystać będziemy z faktu, że $sin$ jest ciągły, z warunków równoważnych ciągłości (przeciwobraz zbioru domkniętego/otwartego jest odpowiednio domknięty/otwarty), ze spójności $R^n$ i warunku, że w $R^n$ zbiór jest zwarty wtw jest domknięty i ograniczony. 1. a) $A$ jest otwarty jako przeciwobraz zbioru otwartego $(\frac{1}{2},\infty)$. b) Nie jest domknięty, bo jest otwarty (w przestrzeni spójnej $X$ tylko $\emptyset$ i $X$ są zarazem domknięte i otwarte) c) nie jest ograniczony, $sinx=1$ dla $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in Z$ d) nie jest ograniczony, to i zwarty być nie może

tumor postów: 8070	2014-02-22 13:00:20 1. e) spójny nie jest, bo jeśli $A$ potraktujemy jak podprzestrzeń, to $A\cap R^+$ i $A\cap R^-$ są domknięto-otwarte w $A$, rozłączne i sumują się do $A$. f) jako niespójny nie jest wypukły g) $int A=A$, bo $A$ otwarty. h) domknięcie $clA=\{x\in R: sinx \ge \frac{1}{2}\}$ i) brzeg $bdA=\{x\in R: sinx = \frac{1}{2}\}$

tumor postów: 8070	2014-02-22 13:04:24 2. b) jest domknięty jako przeciwobraz zbioru domkniętego $(-\infty, 0]$ (wielomiany są ciągłe). a) zatem ze spójności $R^n$ mamy, że nie jest otwarty c) $(-\infty,-2)\subset A$, zatem $A$ nie jest ograniczony d) jako nieograniczony nie jest zwarty

tumor postów: 8070	2014-02-22 13:16:54 f) jest wypukły, bo funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe $x_0$ i $A=(-\infty, x_0]$ e) zatem jest spójny g) $int A=A \backslash \{x_0\}$ h) $clA=A$ i) $bdA=\{x_0\}$

tumor postów: 8070	2014-02-22 13:24:55 3. a) otwarty jako przeciwobraz otwartego zbioru $(\frac{1}{2},\infty)$ poprzez funkcję $sin(\pi_1(x,y))$, gdzie $\pi_1 $ jest rzutowaniem na pierwszą współrzędną. Rzutowania są ciągłe, złożenia funkcji ciągłych są ciągłe. b) zatem nie jest domknięty c) nie jest ograniczony d) więc nie jest zwarty reszta przy okazji, teraz mam katar

tumor postów: 8070	2014-02-23 08:08:49 e) spójny nie jest, bo znów można dzielić A biorąc iloczyny ze zbiorami otwartymi. Tak jak 1 e) f) zatem nie jest wypukły g) jako otwarty jest równy swojemu wnętrzu h) domknięcie zmieni tylko nierówność $>$ na $\ge$ w definicji. i) a brzeg to te punkty, o które domknięcie się różni z wnętrzem, czyli te wszystkie dla których $sin x_1=\frac{1}{2}$

tumor postów: 8070	2014-02-23 08:21:35 4. b) domknięty jako przeciwobraz zbioru domkniętego. a) czyli nie otwarty c) ograniczony, bo zawarty w kuli $K((0,0),3)$ albo w kwadracie $[-1,1]^2$ d) domknięty i ograniczony, czyli zwarty

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj