Topologia, zadanie nr 2179

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
meg1991 postów: 2	2014-02-24 11:33:01 Witam serdecznie, Bardzo prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu zadania. Mamy zbiór T={1+2^(-k)i: keN} Jak widzimy jest to zbiór w zbiorze liczb zespolonych. Teraz mam zbadać, czy zbiór jest otwarty czy domknięty. Początkowo zauważyłam, że z=x+iy, więc naszym x będzie 1, a y=2^(-k). Umieściłam kolejne wyrazy na osi Re(Im) i widzimy, że będzie to zbiór, który będzie dążył do zera, czyli kolejno będzie przyjmował wartości: (1,1),(1,1/2),(1,1/4),(1,1/8)... itd. Teraz korzystając z def. zbioru otwartego, możemy sobie wybrać punkty na osi, które nie spełniają tego warunku, więc nie jest to zbiór otwarty. Teraz chcąc sprawdzić, czy jest to zbiór domknięty słyszałam, że muszę sprawdzić definicję punktów skupienia, bo z twierdzenia wynika, iż zbiór domknięty musi zawierać wszystkie swoje punkty skupienia, dzięki czemu dochodzimy do tego, że zbiór nie jest domknięty... Czy mogłby ktoś mi powiedzieć czy dobrze myślę, jeśli tak to wytłmaczyć mi jak wyglądają te punkty skupienia, jak mam to sprawdzić? A może istnieje jakaś inna forma sprawdzenia czy zbiór jest otwarty czy domknięty?? Bardzo proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2014-02-24 14:53:48 Jeśli chodzi do domkniętość, tak. Można zauważyć, że punkt (1;0) jest punktem skupienia, bowiem jest np granicą ciągu $(1;\frac{1}{2})(1;\frac{1}{4}),(1;\frac{1}{8})...$ Natomiast $(1;0) \notin T$, czyli $T$ nie jest domknięty. ---- Jeśli chodzi o otwartość, to po pierwsze piszesz mocno niematematycznym językiem ("zbiór dąży do zera"), po drugie nie rozumiem, co chcesz przekazać. :) Można pokazać, że $T`=X \backslash T$ nie jest domknięty, a pokazujemy to jak wyżej (np dla ciągu $(\frac{n-1}{n},\frac{1}{2})$ dostajemy co trzeba). Z tego wynika, że $T$ nie jest otwarty. Można skorzystać z metryki na zbiorze liczb zespolonych wzorem $d(z_1,z_2)=\|z_1-z_2\|$, albo szerzej - z dowolnej bazy topologii (naturalnej) na zbiorze liczb zespolonych. Wówczas pokazujemy, że dla $x\in T$ każde otoczenie punktu $x$ nie jest podzbiorem zbioru $T$. Natomiast w definicji zbioru otwartego $U$ mamy warunek, że dla $x\in U$ istnieje także otoczenie (kula w metryce, zbiór bazowy) $x$ będące podzbiorem $U$. ---- Sprawdzanie domkniętości/otwartości może wyglądać różnie. Wszystko zależy od przyjętych na wykładzie definicji (nie podałaś), a także udowodnionych warunków równoważnych definicji.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj