logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2181

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

meg1991
postów: 2
2014-02-24 14:13:43

Witam serdecznie,
Bardzo prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu zadania.

Mamy zbiór T={1+2^(-k)i: keN} Jak widzimy jest to zbiór w zbiorze liczb zespolonych. Teraz mam zbadać, czy zbiór jest otwarty czy domknięty.

Początkowo zauważyłam, że z=x+iy, więc naszym x będzie 1, a y=2^(-k). Umieściłam kolejne wyrazy na osi Re(Im) i widzimy, że będzie to zbiór, który będzie dążył do zera, czyli kolejno będzie przyjmował wartości:
(1,1),(1,1/2),(1,1/4),(1,1/8)... itd.

Teraz korzystając z def. zbioru otwartego, możemy sobie wybrać punkty na osi, które nie spełniają tego warunku, więc nie jest to zbiór otwarty. Teraz chcąc sprawdzić, czy jest to zbiór domknięty słyszałam, że muszę sprawdzić definicję punktów skupienia, bo z twierdzenia wynika, iż zbiór domknięty musi zawierać wszystkie swoje punkty skupienia, dzięki czemu dochodzimy do tego, że zbiór nie jest domknięty...


Czy mogłby ktoś mi powiedzieć czy dobrze myślę, jeśli tak to wytłmaczyć mi jak wyglądają te punkty skupienia, jak mam to sprawdzić?
A może istnieje jakaś inna forma sprawdzenia czy zbiór jest otwarty czy domknięty??
Bardzo proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2014-08-17 21:46:12

Dobrze rozumujesz.

Na początku powinniśmy jeszcze powiedzieć, jaką topologię czy jaką metrykę rozważamy, bo zależnie od tego odpowiedzi będą różne. Jeśli jednak nic nie mówimy, to prawdopodobnie chodzi o topologię naturalną, czyli w zasadzie metrykę euklidesową (a w terminach liczb zespolonych: moduł różnicy liczb).

W topologii naturalnej $R^n$ zbiory niepuste przeliczalne nie są nigdy otwarte, bo zbiór otwarty niepusty jest z pewnością nieprzeliczalny (bo zawiera odcinek, bo zawiera kulę otwartą, etc).
$C$ traktujemy tu analogicznie do $R^2$, bo algebraiczne własności liczb zespolonych są tu nieistotne.

Inaczej można rozumować tak: jeśli $A$ jest otwarty, to $X\backslash A$ jest domknięty. Skoro wiesz, jak sprawdzać domkniętość, to można rozumować, że $X\backslash T$ nie jest domknięty, bo nie zawiera granicy ciągu
$x_n=1+\frac{1}{n}+2i\to 1+2i\in T$
Zatem $T$ nie jest otwarty.

Domkniętość sprawdzasz poprawnie, granica ciągu (trzeba uzasadnić zależnie od metryki, że $(1,0)$ jest granicą tego ciągu) elementów z $T$ nie należy do $T$, czyli punkt skupienia nie należy do zbioru, więc zbiór nie jest domknięty.

Można także sprawdzać, czy zbiór $X\backslash T$ jest otwarty.
Zauważamy, że $(1,0) \in X\backslash T$, ale każde otoczenie $U$ tego punktu ma z $T$ niepusty przekrój, czyli żadne otoczenie punktu nie zawiera się w $X\backslash T$. Zatem $X\backslash T$ nie jest otwarty, zatem $T$ nie jest domknięty.

Jest dużo więcej sposobów sprawdzania domkniętości/otwartości, ale opierają się one na wielu dowodzonych zazwyczaj własnościach zbiorów. Dla przykładu domknięty i ograniczony podzbiór płaszczyzny byłby zwarty, T jest ograniczony i można pokazać, że nie jest zwarty, wówczas nie może być domknięty. Jednakże nie wiem, co już dowodzono, o jakich własnościach w ogóle mówiono na wykładzie. Nie zgadnę.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj