Analiza matematyczna, zadanie nr 2199
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| agusiaczarna22 postów: 106 |  2014-03-04 16:12:38Mam sprawdzić ciągłość następującej funkcji określonych w swoich naturalnych dziedzinach: a)$f(x,y,z)=x^3-z^3$ Bardzo proszę o pomoc. Czy funkcja spełnia warunek Lipschitza? |
| tumor postów: 8070 | 2014-03-04 19:37:01 Ale jak sprawdzić? :) Ogólnie metodą sprytną jest pokazanie, że ciągłe są rzutowania, ciągłe są iloczyny funkcji ciągłych i ciągłe są sumy/różnice funkcji ciągłych. W rezultacie otrzymujemy, że każdy wielomian jest ciągły i się nie babrzemy z każdym wielomianem z osobna. Jeśli się chcemy babrać, to używamy definicji ciągłości albo któregoś warunku równoważnego. Ja i tak nie wiem/nie pamiętam, jakiej używasz definicji :P Możemy zatem policzyć granicę $\lim_{(a,b) \to (0,0)}(x+a)^3-(z+b)^3=x^3-z^2+a(3x^2+a3x+a^2)-b(3z^2+b3z+b^2)=x^3-z^3$ Możemy też ustalić $x_0,y_0,z_0$, wziąć epsilonowe otoczenie punktu $f(x_0,y_0,z_0)$ i pokazać, że dla $\delta=\frac{\epsilon}{666*max(x^2,z^2,1)}$ i dla $|x-x_0|<\delta$ $|y-y_0|<\delta$ $|z-z_0|<\delta$ mamy $|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)|<\epsilon$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-03-04 19:44:54 Funkcja nie spełnia warunku Lipschitza. Weźmy bowiem różne $x_1, x_2$ i ciągi $x_1+n, x_2+n$ Wartość wyrażenia $|(x_1+n,0,0)-(x_2+n,0,0)|=|(x_1+n)-(x_2+n)|=|x_1-x_2|$ jest stała i dodatnia, jednakże $|f(x_1+n,0,0)-f(x_2+n,0,0)|$ rośnie do nieskończoności. |
| agusiaczarna22 postów: 106 | 2014-03-04 20:13:59 a można to pokazać z definicji ciągłości z topologii?? a jak to np. na tych rzutowaniach można pokazać, bo miałam co o projekcji, rzutowaniu i homeomorfizmie? |
| agusiaczarna22 postów: 106 | 2014-03-04 20:50:49 a takie są moje równoważne warunki: 1.Dla każdego otoczenia $U$ punktu $f(a)$ istnieje otoczenie $V$ punktu $a$ takie, że $f(V)=U$. 2.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0} f(K_{\delta}(a))\subset K_{\varepsilon}f(a)$ 3.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x\in X}d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$ 4.Dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów $X$ mamy $x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)$. |
| tumor postów: 8070 | 2014-03-04 22:41:35 To już autora zadania pytaj, czego możesz użyć w celu rozwiązania. Moim zdaniem na wykładzie pojawił się dowód, że wielomiany są ciągłe, co sprawę załatwia. Natomiast jeśli macie ćwiczyć jakiś konkretny warunek, to powiedz, który. :) Użyłem warunku trzeciego. Wprawdzie użyłem innej metryki niż euklidesowa, ale równoważnej z euklidesową, więc dowód łatwo przerobić. A wcześniej użyłem warunku czwartego. --------- Rzutowanie to w naszym przypadku funkcja $\pi_i:R^n \rightarrow R$, dana wzorem $\pi_i(x_1,_2,...,x_i,...,x_n)=x_i$ Oczywiście jeśli $(x_1,_2,...,x_i,...,x_n)\rightarrow (a_1,...,a_n)$ to $\pi_i(x_1,_2,...,x_i,...,x_n)=x_i\rightarrow a_i = \pi_i(a_1,...,a_n)$ Na wykładzie były z całą pewnością dowody, że suma/różnica/iloczyn/złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj